高中数学专题讲义：导数及其应用

高中数学专题讲义:导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的计算最新考纲1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数),y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝1x,y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.知识梳理1.导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地,函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是0limxΔyΔx＝0limxf（x0＋Δx）－f（x0）Δx,我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x＝x0,即f′(x0)＝0limxf（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)函数f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数f′(x)＝0limxf（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数.2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a0,a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a0,且a≠1)f′(x)＝1xlna4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有:(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.()(2)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(4)若f(x)＝a3＋2ax＋x2,则f′(x)＝3a2＋2x.()解析(1)f′(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值,而f((x0))′表示函数值f(x0)的导数,其意义不同,(1)错.(2)求f′(x0)时,应先求f′(x),再代入求值,(2)错.(4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3,∴f′(x)＝2x＋2a,(4)错.答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.(选修1－1P75例1改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋3t(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为()A.194B.174C.154D.134解析由题意知,机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－3t2,故当t＝2时,机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－322＝134.答案D3.(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________.解析因为f(x)＝(2x＋1)ex,所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex,所以f′(0)＝3e0＝3.答案34.(2017·豫北名校期末联考)曲线y＝－5ex＋3在点(0,－2)处的切线方程为________.解析∵y′＝－5ex,∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5,∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0),即5x＋y＋2＝0.答案5x＋y＋2＝05.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a＝________.解析由题意可得f′(x)＝3ax2＋1,则f′(1)＝3a＋1,又f(1)＝a＋2,∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1).∵切线过点(2,7),∴7－(a＋2)＝3a＋1,解得a＝1.答案1考点一导数的计算【例1】求下列函数的导数:(1)y＝exlnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝x－sinx2cosx2；(4)y＝cosxex.解(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex1x＝lnx＋1xex.(2)因为y＝x3＋1＋1x2,所以y′＝(x3)′＋(1)′＋1x2′＝3x2－2x3.(3)因为y＝x－12sinx,所以y′＝x－12sinx′＝x′－12sinx′＝1－12cosx.(4)y′＝cosxex′＝（cosx）′ex－cosx（ex）′（ex）2＝－sinx＋cosxex.规律方法(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量提高运算速度,减少差错.(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.【训练1】(1)f(x)＝x(2017＋lnx),若f′(x0)＝2018,则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e(2)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axlnx,x∈(0,＋∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)＝3,则a的值为________.解析(1)f′(x)＝2017＋lnx＋1x·x＝2018＋lnx.由f′(x0)＝2018,得lnx0＝0,则x0＝1.(2)f′(x)＝alnx＋x·1x＝a(1＋lnx).由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a,又f′(1)＝3,所以a＝3.答案(1)B(2)3考点二导数的几何意义(多维探究)命题角度一求切线方程【例2－1】(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)＝e－x－1－x,则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________.(2)(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xlnx,若直线l过点(0,－1),并且与曲线y＝f(x)相切,则直线l的方程为()A.x＋y－1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y＋1＝0D.x－y＋1＝0解析(1)设x0,则－x0,f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数,f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x,所以当x0时,f(x)＝ex－1＋x.因此,当x0时,f′(x)＝ex－1＋1,f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2,所以切线方程为y－2＝2(x－1),即2x－y＝0.(2)∵点(0,－1)不在曲线f(x)＝xlnx上,∴设切点为(x0,y0).又∵f′(x)＝1＋lnx,∴y0＝x0lnx0，y0＋1＝（1＋lnx0）x0，解得x0＝1,y0＝0.∴切点为(1,0),∴f′(1)＝1＋ln1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1,即x－y－1＝0.答案(1)2x－y＝0(2)B命题角度二求切点坐标【例2－2】(2017·西安调研)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.解析由y′＝ex,知曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.设P(m,n),又y＝1x(x0)的导数y′＝－1x2,曲线y＝1x(x0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2.依题意k1k2＝－1,所以m＝1,从而n＝1.则点P的坐标为(1,1).答案(1,1)命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)【例2－3】已知直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋lnx相切,则b的值为()A.2B.－1C.－12D.1解析设切点坐标为P(x0,y0),由y＝－12x＋lnx,得y′＝－12＋1x.∴y′|x＝x0＝－12＋1x0,依题意,－12＋1x0＝12,∴x0＝1,则P1，－12,又切点P1，－12在直线y＝12x＋b上,故－12＝12＋b,得b＝－1.答案B规律方法(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点,“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点,此时应先设出切点坐标.(3)当曲线y＝f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于x轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是x＝x0.【训练2】(1)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0,则点P的坐标是________.(2)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,则实数a的取值范围是________.解析(1)由题意得y′＝lnx＋x·1x＝1＋lnx,直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m,n),则1＋lnm＝2,解得m＝e,所以n＝elne＝e,即点P的坐标为(e,e).(2)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,即f′(x)＝2在(0,＋∞)上有解,而f′(x)＝1x＋a,即1x＋a在(0,＋∞)上有解,a＝2－1x,因为a＞0,所以2－1x＜2,所以a的取值范围是(－∞,2).答案(1)(e,e)(2)(－∞,2)[思想方法]1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常数,其导数一定为0,即(f(x0))′＝0.2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时,必须注意交换的等价性.3.曲线的切线与二次曲线的切线的区别:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.[易错防范]1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.2.曲线y＝f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.3.对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.设y＝x2ex,则y′＝()A.x2ex＋2xB.2xexC.(2x＋x2)exD.(x＋x2)ex解析y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.答案C2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx,则f′(1)等于()A.－eB.－1C.1D.e解析由f(x)＝2xf′(1)＋lnx,得f′(x)＝2f′(1)＋1x,∴f′(1)＝2f′(1)＋1,则f′(1)＝－1.答案B3.曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是()A.x－3y＋3＝0B.x－2y＋2＝0C.2x－y＋1＝0D.3x－y＋1＝0解析y′＝cosx＋ex,故切线斜率为k＝2,切线方程为y＝2x＋1,即2x－y＋1＝0.答案C4.(2017·成都诊断)已知曲线y＝lnx的切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.－eC.1eD.－1e解析y＝lnx的定义域为(0,＋∞),且y′＝1x,设切点为(x0,lnx0),则y′|x＝x0＝1x0,切线方程为y－lnx0＝1x0(x－x0),因为切线过点(0,0),所以－lnx0＝－1,解得x0＝e,故此切线的斜率为1e.答案C5.(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cosxsinx在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行,则实数a等于()A.－1B.12C.－2D.2解析∵y′＝－1－cosxsin2x,∴y′|x＝π2＝－1.由条件知1a＝－1,∴a＝－1.答案A二、填空题6.若曲线y＝ax2－lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a＝________.解析因为y′＝2a