静电场零电势点的选取

静电场零电势点的选取摘要：要知道静电场中任意一点的电势，就必须先选定零电势点。本文就静电场中遇到的各种经典的带电体物理模型的电势如何选取零电势点做出了讨论。意在能够更简单的解决实际问题。关键词：静电场、电势、电势零点Abstract:toknowthepotentialofanypointinelectrostaticfield,zeropotentialpointsmustbeselected.Thispaperdiscusseshowtoselectthezeropotentialpointoftheelectricpotentialofthevariousclassicalelectric-bodyphysicsmodelsencounteredinelectrostaticfield.Itaimstosolvepracticalproblemsmoreeasily.Keywords:electrostaticfield,electricpotential,potentialzero.引言：静电场是由静止电荷所激发的电场。因为静电力是保守力，所以静电场是保守场。我们通常用电场强度和电势来描述静电场。电场强度主要是从力的角度研究电场，电势主要从能的角度研究电场。本文主要讨论静电场中零电势点如何选取来更简单地解决一些实际的静电场中的问题。我们知道电场力做功与电场强度有关，所以能够找到电势与电场强度的关系。如：设点电荷q从P点到p0点时电场力做的功为A，则P点的电势为：V=qA=q10pcospdlF=q1ld·0PPF是F与ld的夹角，所以V=p0pldE（1）例：AB两点的电势差为：设P0为电势零点，有：VA=0·pAldEVB=0·PBldE（2）VA－VB=0·pAldE－0·PBldE=BAldE·（3）从上式可以看出选取不同的电势零点，静电场中各点电势计算会得到不同的值，但是任意1.1电势：单位正电荷Q从P点移到零电势点P0时所做的功叫做P点的电势。[1]1.2电势零点：从上式可知，电势V与电场强度E的积分关系可以看出：空间中任意一点的电势是由电场强度沿某条电场曲线的线积分所得到的。电势是标量场，参考点的电势为零。所以P0点就是电势零点。[2]1.3电势差的定义：静电场中任意两点间电势之差叫做该两点之间的电势差。[3]两点间电势差却始终保持不变，这就说明虽然选择的零电势点不一样，描述电场的路径不一样，但依旧是同一个静电场。也就是说同一个静电场可以采用无数种路径来表征。所以静电场电势零点的选取是任意的。2.1零电势点选择的限制性零电势点的选取虽然是任意的，但在解决实际的问题中。零电势点的选取一般不能任意选取。选取的零电势点必须要有意义。在有意义的前提下，零电势点的选取还要尽可能的使解决问题的时候足够简便。2.2点电荷产生的静电场的情况（1）选取无穷远处为零电势点[注：此时r的指数为2]VP=0·PPldE=drQPPr1·400=PrdrQ204=r40Q+pr4Q=p0r4Q+0=p0r4Q（1）（2）选取r=0处为电势零点时VP=0·PPldE=drQPPr1·400=0204PrdrQ=04Q（01+pr1）=（2）很明显，此时电势没有确定的值，也就是说此时VP没有意义。（3）电势零点选在r=0到无限远处之间的任意一点P0，则：同理：VP=0·PPldE=0204PPrdrQ=04Q(-r1+pr1)（3）此时VP虽然有确定的值（也就是此时的VP有意义），但与（1）式比较却要复杂的多。从（1）、（2）、（3）式得：点电荷产生的电场中，选取点电荷所处空间为零电势点是不行的，因为如果选取r=0处的点为零电势点，则VP=,没有任何意义。为了使问题简单化也不便在源点和无限远之间的任意空间位置选取零电势点，通常选取无限远处的电势为零。若选取无限远处的电势为零，则空间中距离源点Q任意距离r所在位置的电势为Vr=r40Q。2.3电荷分布在有限区域时，零电势点通常选取在无限远处。电荷分布在有限区域也就是说是一个有限大的带电体。带电体周围存在激发电场，每点都有确定的电场强度，在带电体附近的空间位置，电场线密集，根据E=20r4Q可知，随着距离r的增大，E是减小的,再根据VP=0·PPldE可知：电势也是减小的。从无穷远的地方看这个带电体时，我们可以把有限大的带电体看成是一个点电荷，那么就和点电荷的情况类似，选取无限远处的电势为零电势点是最简洁的。下面举几个例子来说明。2.3.1均匀带电球面电场的电势分布已知球的半径为R，电荷为q。（1）选取无穷远处为零电势点。（V=0）E=reQ20r4（rR）E=0在球外（含球面）任取一点A，设其与球心O的距离为r:则V=0·PAldE其中P0在无穷远处，选QA的延长线为积分路径。此路径上的电场强度与点电荷的场强一样，所以积分结果也应该与点电荷的有关结果相同。既：V=AldE·=drQA20r4=r40Q【注：此时r的指数为2】再在球内取一点B，其与O的距离也用r表示。因为球内外的电场分布情况不同，所以电场强度也不一样，故积分要分为两段进行：V=CBldE·+0·PCldE=0+20r4drQR=RQ04(rR)它的电势函数图像为：VRrROBCAr已知:均匀带电球面在空间中激发的场强方向沿半径向外，场强大小为：2.3.2均匀带电圆盘轴线上的电势分布已知圆盘的半径为R，电荷面密度为；选取无穷远处为电势零点，则：V=2204zrdrdr=200220d4Rzrdrr=）（ZZR2202函数图像为：VZZ从以上两个例题可以看出：电荷分布在有限区域时，可以选择无限远处为电势零点。先求出电场强度，再根据电场强度与电势的关系，选择合适的积分路径，计算电场中某一点的电势。2.4电荷分布在无限区域时零电势点的选取，通常选在一个确定的点上。无限大的带电体一般有：无限大的圆柱体、无限长的直导线、无限大的平面等。其上面的电荷分布在无限远的地方。在研究这些带电体在周围空间产生的电势时，一般不选取无限远处为零电势点，而要选取其周围一点有限远处为电势零点。[3]具体选取哪一点下面我们从几个例题来讨论。2.4.1无限长均匀带电直导线的电势分布例，如图所示，是一无限均匀带电长直导线，电荷线密度为，求电场中任意一点的电势。r.A解：已知E=r20（1）选取无限远处为电势零点，则：V=drrr02=02rrdr【注：此时r的指数为1】=02（ln—lnr）=此时该表达式没有确定的值，也就没有任何意义！（2）选取导线轴线上为电势零点，则:V=drrr002=02lnr0=02（ln0—lnr）同理，此表达式也无意义。（3）选取带电直导线附近某一点A为电势零点，则：V=drrrrA02=02lnrrA=02（lnrA—lnr）此时V具有确定的值，有意义。若选取rA=1为电势零点，则V=02（ln1—lnr）=—02lnr此式是最简洁的。Vr由此可见，在遇到无限长均匀带电直线在其周围产生的电场的电势时，一般选取带电直线外一个有限距离确定的点来作为零电势点。若选取rA=1米时电势的表达式最简洁。2.4.2电荷面密度为的无限大均匀带电平面，求距平面为r处P点的电势。Pr解：由高斯定理可知，无限大均匀带电平面的电场强度为：E=02（1）选取无穷远处的电势为零，则：V=drr02=）（r-20【注：此时r的指数0】此时V的表达式是无意义的。（2）选取电场中有限空间任意场点P0为电势零点，则：V=drpr002=）（r-P200此时V有确定的值，有意义。（3）选取带电体表面为电势零点，则：V=drr002=r20此时V也有确定的值，有意义，但此式与上式比较要简洁的多。综上所述，若遇到求无限大均匀带电平面的电势，选取无穷远处为零电势点是无意义的，可以选取有限空间中任意场点为零电势点，也可选取该带电平面它本身为零电势点。此时电势V的表达式最简洁，方便我们求解问题。2.4.3半径为R的无限长圆柱体内均匀带电体电荷体密度为，求柱体内外的电势。R解：由sdE·=0q可以求出电场强度的分布：E内=r20E外=20r22R（1）选取无穷远处为零电势点，则：V内=drr02=）（r-20【注：此时r的指数为0】V外=drERr外+drER内=drrRRr022+drR02=022RlnrR+02（R-）此时电势V的表达式无意义。（2）选取电场中任意有限空间一点P0为电势零点，则：V内=drpR002=02（p0-r）V外=drERr外+drEp0R内=drrRRr022+drpR002=022RlnrR+02（p0-R）此时电势V的表达式有意义。（3）选取无现长圆柱轴线上一点为电势零点，则：V内=drrr002=-20r4V外=drERr外+drE0R内=022RlnrR—024R此时电势V的表达式有意义且为最简形式。综上所述，若遇到求无限长均匀带电圆柱体内外的电势分布时，一般选取轴线上的一点为电势零点。3物理讨论3.1求空间中点电荷所产生的电场的电势分布及电荷分布在有限区域时产生的电场的电势分布的情况时，我们从无穷远的地方看这个有限区域时就可以把该带电体或者该区域视为一个点电荷，比如均匀带电球面和带电圆盘等。遇到这种情况一般选取无穷远处为电势零点，选在源点处没有任何意义，若选在源点附近的任意场点处虽有意义，但在解题过程中会使电势的表达式变得很复杂，不利于我们解决问题。3.2对于电荷分布在无限大区域的情况时，零电势点一般选在一个确定的点上。这个点到底是在导体的表面上还是距离源点附近的场点上要具体问题具体分析。比如无限长的均匀带电直线的时候，一般选取带电直线外一点为零电势点，最好的情况是选取r=1米的点，此时电势V的表达式最简单，方便我们求解。如遇到无限大均匀带电平面时，一般选取带电平面为零电势点最简洁。若遇到无限长的圆柱带电体时，一般选取轴线为零电势点为最简洁。4数学讨论从以上各个例子我们可以总结出电势的一般表达式为：V=drrPmk=|11m1rmrk从上式可以看出零电势的选取由m来决定，下面我对r的指数来讨论。4.1当m1时，只有选取r=0处为零电势点，即零电势点选在带电体表面才有确定的值，才有意义。也就是前面提到的无限大带电平面的情况。4.2当m=1时，这种情况零电势点既不能选在无穷远处，也不能选在带电体上，只能选在电场中有限空间的某一点上。比如无限长的带电直线和无限长的带电圆柱体这类问题。4.3当m1时，零电势点选在无穷远处是最好的。比如点电荷以及电荷分布在有限空间的时候（带电球面和带电圆盘之类的问题）。5结束语电势零点的选取具有很大的灵活性，但选取的前提必须要使电势有意义，也就是有确定的值才可以，所以零电势的选取有具有限制性。只有适当的选取电势零点才能使问题得到简单的解决。本文主要谈了一些常见问题的零电势点的选取。参考文献：[1]《普通物理学教程电磁学》（第三版）；梁灿斌，梁竹建著[2]《普通物理学教程电磁学》（第三版）；梁灿斌，梁竹建著[3]《普通物理学教程电磁学》（第三版）；梁灿斌，梁竹建著