几何体的外接球与内切球总结(含解析)

1【课前测试】1、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．解析：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2＝18，则a2＝3，即a＝，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a＝2R，即R＝，则球的体积V＝π•（）3＝；故答案为：．答案：2、已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，且两两垂直，△ABC是边长为2的正三角形，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．πD．π解析：把三棱锥P﹣ABC放入正方体中，如图所示：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴此正方体的棱长为，∵正方体的外接球即是三棱锥P﹣ABC的外接球，∴球O的半径R＝＝，∴球O的体积为：π，故选：C．答案：C2几何体的外接球与内切球【知识梳理】定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.【课堂讲解】类型一墙角模型(三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球的半径)方法：找三条两两相互垂直的线段，直接用公式2𝑅=√𝑎2+𝑏2+𝑐2，即可求出𝑅.例1、在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，且PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A．4πB．8πC．16πD．2π解析：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作正方体如图，则正方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵正方体的对角线长为2，∴球直径为2，半径R＝，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积为：πR3＝π×（）3＝4π故选：A．答案：A3变式训练：1、已知三棱锥S﹣ABC，△ABC是直角三角形，其斜边，SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．144πB．72πC．100πD．64π解析：由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的对角线为外接球的直径，设外接球的半径为R，则由题意可得2R＝＝，所有4R2＝144，所以外接球的表面积S＝4πR2＝144π，故选：A．答案：A2、在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，若其外接球的表面积为12π，则SA＝（）A．1B．2C．D．4解析：如图，4由SA⊥平面ABC，得SA⊥AC，SA⊥BC，又AB⊥BC，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，得BC⊥SB．∴SC为三棱锥S﹣ABC的外接球的一条直径．由已知可得：，得SC2＝12．又AC2＝AB2+BC2＝8，∴SA＝．故选：B．答案：B类型二垂面模型(一条直线垂直于一个平面)(一)条件：𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶1、将∆𝐴𝐵𝐶画再一个小圆面上，𝐴为直径的一个端点，做小圆的直径𝐴𝐷,连接𝑃𝐷，则𝑃𝐷必过球心𝑂；2、𝑂1为∆𝐴𝐵𝐶的外心，所以𝑂𝑂1⊥平面𝐴𝐵𝐶，算出小圆𝑂1的直径𝑂1𝐷=𝑟(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑟)，𝑂𝑂1=12𝑃𝐴；3、利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2𝑅)2=𝑃𝐴2+(2𝑟)2⟺2𝑅=√𝑃𝐴2+(2𝑟)2；②𝑅2=𝑟2+𝑂𝑂12⟺𝑅=√𝑟2+𝑂𝑂12.例2、已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝，则球O的体积为（）图5ADPO1OCB5A．B．C．D．解析：因为AB＝1，AC＝2，∠BAC＝，可得BC＝＝＝，所以可得AC2＝AB2+BC2，所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的最中点O'，所以外接圆的半径r＝＝1因为SA⊥平面ABC，所以三棱锥的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，设为O，设球的半径为R，则R＝＝＝，所以外接球的体积为V＝＝（）3＝π，故选：B．答案：B变式训练：1、已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，SA＝AB＝AC＝2，则球O的表面积为（）A．4πB．C．20πD．36π解析：如图所示，∵AB＝2，AC＝2，∠BAC＝120°，∴三角形ABC的外接圆直径2r＝＝4，∴r＝2，∵SA⊥面ABC，SA＝2，三角形OSA为等腰三角形，6∴该三棱锥的外接球的半径R＝＝，∴该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×5＝20π．故选：C．答案：C2、在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝3，SA＝2，则该四面体的外接球的半径为（）A．1B．C．2D．4解析：因为SA⊥平面ABC，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心O'垂直于底面ABC的直线与中截面的交点O，由AB＝AC＝BC＝3，设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r＝，所以r＝，所以外接球的半径R＝＝＝2，故选：C．答案：C3、在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′＝，AB＝2，则该正三棱柱外接球的表面积是（）A．7πB．C．D．8π解析：由正三棱柱的底面边长为2得底面外接圆O的半径r＝，7又由正三棱柱的高为，则球心到圆O的球心距d＝，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2＝r2+d2＝＝，∴外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝π．故选：B．答案：B(二)条件：𝑃的射影是∆𝐴𝐵𝐶的外心⟺三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的三条侧棱相等⟺三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的底面∆𝐴𝐵𝐶在圆锥的底上，顶点𝑃点也是圆锥的顶点解题步骤：1、确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,,OOP三点共线；2、先算出小圆1O的半径rAO1，再算出棱锥的高hPO1（也是圆锥的高）；3、勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R例3、已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是（）A．16πB．C．64πD．解析：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，外接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，设为O，连接OA得：r＝，∴r8＝2，即O'A＝2，所以三棱锥的高h＝＝＝6，由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，所以外接球的体积V＝πR3＝π．故选：D．答案：D变式训练：1、正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A．4πB．16πC．D．解析：如图所示，过A作AE⊥平面BCD，垂足为E，则E为三角形BCD的外心，由题意可知，BE＝，因为侧棱与底面成60°角，即∠ABE＝60°，所以AE＝3，Rt△OBE中，R2＝3+（3﹣R）2，解可得R＝2，则正三棱锥的外接球的体积V＝＝．故选：D．答案：D92、一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π解析：∵四面体A﹣BCD所有棱长都为4，如图，∴边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，设OA＝OB＝r，则r2＝（﹣r）2+（）2，解得r＝，∴球的表面积S球＝4πr2＝24π．故选：A．答案：A3、已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为3的正方形，则该球的表面积为（）A．B．C．36πD．34π解析：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵底面ABCD是边长为3的正方形，且侧棱长都相等，高为4，则底面外接圆半径r＝3，由题意可得，PO'═4，OO'＝PO'﹣PO＝4﹣R．∵在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2+OO'2，∴R2＝32+（4﹣R）2，解之得R＝．10∴该球的表面积为4πR2＝．故选：B．答案：B类型三锥体的内切球问题1．题设：如图，三棱锥ABCP上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，HE,分别是两个三角形的外心；第二步：求𝐷𝐻=13𝐶𝐷，rPHPO，PD是侧面ABP的高；第三步：由POE相似于PDH，建立等式：PDPODHOE，解出r2．题设：如图，四棱锥ABCP上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，HOP,,三点共线；第二步：求BCFH21，rPHPO，PF是侧面PCD的高；第三步：由POG相似于PFH，建立等式：PFPOHFOG，解出r例4、已知正三棱锥S﹣ABC的底面是面积为的正三角形，高为2，则其内切球的表面积为（）A．B．C．D．解析：过顶点S作SO⊥平面ABC，则SO＝，设正三棱锥S﹣ABC的底面边长为a，则底面积为，即a＝2．图14HDABCPOE图15FEHDBACPOG11连接AO并延长，交BC于D，连接SD，则SD为斜高，∴SD＝＝．设正三棱锥S﹣ABC的内切球的半径为r，则，解得r＝．∴内切球的表面积S＝4πr2＝．故选：D．答案：D变式训练：1、已知正三棱锥A﹣BCD中，底面边长BC为3，侧棱长AB为，求此正三棱锥的内切球的表面积为．解析：设底面正三角形BCD的中心为O，可得OB＝＝，故AO＝＝＝，设内切球的半径为R，则由等体积的方法可得：（S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD）＝＝，代入数据可得：R•（3×+）＝，解之可得R12＝，故内切球的表面积S′＝4πR2＝π答案：π2、若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2＝________.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·34·a2＝3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2π6a2＝63π.答案：63π13【课后练习】1、已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为，则该三棱柱的高为（）A．B．3C．4D．解析：设C，B是三棱柱上下底面的中心，球心O为BC的中点，半径R，由4πR2＝可得R＝OA＝，由正弦定理可得，＝2AB，所以AB＝，又∵R＝＝＝，所以OB＝，故高h＝2OB＝3．故选：B．答案：B2、已知△ABC中，∠B＝90°，DC⊥平面ABC，AB＝4，BC＝5，CD＝3，则三棱锥D﹣ABC的外接球表面积为（）A．B．25πC．50πD．14解析：法一：角△ABC的外心为AC的中点E，球心O满足OE⊥平面ABC，又DC⊥平面ABC，所以OE∥DC，点O在平面ACD内，又球心O到A、C、D三点的距离相等，所以O是直角△ACD的外心，即AD的中点，得外接球直径，外接球表面积为4πR2＝50π，法二：由已知条件可构造一个长方体，长方体的外接球过A、B、C、D四点，所以长方体的外接球即三棱锥D﹣ABC的外接球，得外接球直径2R＝AD＝，外接球表面积为4πR2＝50π，故选：C．答案：C3、已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝3，∠BAC＝120°，AA1＝8，则球O的表面积为（）A．25πB．πC．100πD．π解析：∵△ABC中，AB＝3，AC＝3，∠BAC＝120°，∴△ABC的外接圆的半径r＝3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AA1＝8，则球O的半径R＝＝5．∴球O的表面积＝4πR2＝100π．故选：C．答案：C4、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为π．解析：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线BS＝3，底面半径BC＝1，则其高SC＝＝2，15不妨设该内切球与母线BS切于点D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，则＝，即＝，解得r＝，V＝πr3＝π，故答案为：π．答案：π5、已知三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝，AB＝BC＝1，则