02第一章可靠性概论02

1第一章可靠性概论(2)第三节常用失效分布------------------------------（2）二、威布尔分布----------------------（12）三、正态分布-------------------------（24）四、对数正态分布-------------------（30）习题一答案-----------------------------------（35）一、指数分布-------------------------（3）2第三节常用失效分布即使不知道产品具体的分布函数，如果已知失效分布的类型，也可以通过对分布的参数估计值求得某些可靠性特征量的估计值。研究产品失效分布函数的目的，是为了根据产品失效分布求出产品可靠度、失效率和寿命特征量。产品的失效分布是指其失效概率密度函数或累积失效概率函数，它与可靠性特征量有关密切的关系。因此，在可靠性理论中，研究产品的失效分布类型是一个十分重要的问题。3一、指数分布在可靠性理论中，指数分布是最基本、最常用的分布，适合于失效率λ(t)为常数的情况。指数分布不但在电子元器件偶然失效期普遍使用，而且在复杂系统和整机方面以及机械技术的可靠性领域也得到广泛地使用。指数分布一般记为)(~ET41.指数分布的失效概率密度函数f（t）式中λ—指数分布的失效率，为一常数。17)-(10)(e)(t-ttf指数分布的失效概率密度函数f（t）的图形如图1—10所示。52.指数分布的累积失效概率函数F（t）累积失效概率函数F（t）的图形如图1—11所示。18)-(1)0(1dd)()(0tetettftFtttt可证，当累积失效概率函数F（t）=0.632时，t=θ(平均寿命)。63.指数分布的可靠度函数R（t）可靠度函数R（t）的图形如图1-12所示。19)-(1)0(e)(1)(-ttFtRλt可证，当可靠度函数R（t）=0.368时，t=θ(平均寿命)。74.指数分布的失效率函数λ(t)指数分布的失效率函数的图形如图1－13所示。）（常数20-1)(t85.指数分布的平均寿命θ（MTTF或MTBF）d)(0ttR21)-(11d0tet因此，当产品寿命服从指数分布时，其平均寿命θ与失效率λ互为倒数。对可修产品一般用MTBF表示平均寿命θ，称“平均无故障工作时间”对可不修产品一般用MTTF表示平均寿命θ，称“失效前的平均工作时间”9给定可靠度r时，根据可靠寿命定义和式（1-19）可得：将上式两边取自然对数，可得：rTlnrr.6T指数分布的可靠寿命reTRTr)(r22)-(1ln1rrT10将r=0.5代入式（1—22）可得：0.5.7T指数分布的中位寿命693.01693.02ln15.0ln1-0.5T）（即23-1693.01693.00.5T1-e.8T指数分布的特征寿命得）代入式（rTerln1-22-1r11eln1-1-e1-T11指数分布有一个重要特性，即产品工作了t0时间后，它再工作t小时的可靠度与已工作过的时间t0无关（无记忆性），而只与时间t的长短有关。根据条件概率)()(eeeee)()()()()(),()()(---)(-00000000000000tTPtRetRttRtTPttTPtTPtTttTPtTttTPttRttttttt返回112二、威布尔分布它能全面地描述浴盆失效率曲线的各个阶段。当威布尔分布中的参数不同时，它可以蜕化为指数分布、瑞利分布和正态分布。威布尔分布在可靠性理论中是适用范围较广的一种分布。大量实践说明，凡是因为某一局部失效或故障所引起的全局机能停止运行的元件、器件、设备、系统等的寿命服从威布尔分布；特别在研究金属材料的疲劳寿命，如疲劳失效、轴承失效都服从威布尔分布。：),,(~mWT威布尔分布一般记为131.威布尔分布的失效概率密度函数f(t)24)-(1)0,;(e)()()-(-1mttmtfmtm位置参数。—尺度参数；—形状参数；—式中ηm(2)威布尔分布的失效概率密度函数f(t)如图1-14（a）、（b）、（c）所示。)()(1,1)a(141tfm的形状同时不图(1)f(t)计算式)()(1,2)b(141tfm的位置同时不图)()(0,2)c(141tfm的尺度不同时图14图1-14（a）所示为尺度参数η=1（曲线分布宽度）和位置参数δ=1时，形状参数m不同时的曲线分布图。由图可见形状参数数值越大，曲线越陡峭，f(t)值越大。)(1,1)a(141tfm值的时不同图15)()(1,2)b(141tfm的位置时不同图图1-14（b）所示为形状参数m=2和尺度参数η=1（曲线分布宽度）时，位置参数δ不同时的曲线分布图。由图可见，曲线的形状、分布宽度不变，只是曲线在横坐标上的位置改变。16)()(0,2)c(141tfm的尺度时不同图图1-14（c）所示为形状参数m=2和位置参数δ=0时，尺度参数η（曲线分布宽度）不同时的曲线分布图。由图可见，η↓→曲线宽度↓→f(t)↑。172.威布尔分布的累积失效概率函数F（t）图1—15所示为尺度参数η=1，位置参数δ=1时，形状参数m不同的累积失效概率函数F（t）的图形。25)-(1)0,;(e1)()-(-mttFmδt183.威布尔分布的可靠度函数R（t）26)-(1)0,;(e)()-(-mttRmδt图1—16所示为尺度参数η=1，位置参数δ=1时，形状参数m不同的可靠度函数R(t)的图形。194.威布尔分布的失效率函数λ(t)27)-(1)0,;()(1mttmtm图1—17所示为位置参数δ≠0时，形状参数m不同失效率函数λ(t)的图形。205.威布尔分布计算式中的三个参数（m、η、δ）的含义（1）形状参数m威布尔分布的失效概率密度曲线、累积失效概率曲线、可靠度曲线以及失效率曲线的形状都随m值不同而不同，所以把m称为形状参数。从图1-14～图1-17中(以图1-14为例)可以看出：)(1,1)a(141tfm值的时不同图①当m1时，f(t)曲线随时间单调下降；②当m=1时，f(t)曲线为指数分布；指数分布③当m1时，f(t)曲线随时间增加出现峰值而后下降；④当m=3时，f(t)曲线已接近正态分布，通常m=3~4即可当做正态分布。正态分布21（2）位置参数δ位置参数δ决定了曲线分布的起始点。当m、η相同，δ不同时，其失效概率密度曲线是完全相同的，所不同的只是曲线的起始位置有所变动，如（b）所示。)()(1,2)b(141tfm的位置时不同图图1-14（a）可见，因为位置参数δ（=1）相同，所以曲线起始位置相同。)(1,1)a(141tfm值的时不同图22①当δ0时，产品开始工作时就已失效了，即这些元件在贮存期已经失效。曲线由δ=0时的位置向左平移|δ|的距离。③当δ0时，表示这些元件在起始时间δ内不会失效，f(t)曲线由δ=0时的位置向右平移|δ|的距离。此时，可将δ称为最小保证寿命。曲线。概率密度函数的时不同位置参数参数尺度形状参数图)(1,2)b(141tfm②当δ=0时，f(t)曲线为二参数威布尔分布。)()(1,2)b(141tfm的位置时不同图从图1-14（b）可以看出：23（3）尺度参数η由图1-14（c）可见，m=2、δ=0时不同尺度参数η值的失效概率密度曲线。当η值增大时，f(t)的高度变小而宽度变大。故把η称为尺度参数。通常将η称为真尺度参数，当形状参数m值及位置参数δ值固定不变。尺度参数η值不同时威尔布分布的失效概率密度f(t)曲线的高度及宽度均不相同,见图1-14（c）所示。)()(0,2)c(141tfm的尺度时不同图返回124三、正态分布正态分布在数理统计学中是一个最基本的分布，在可靠性技术中也经常用到它，如材料强度、磨损寿命、疲劳失效、同一批晶体管放大倍数的波动或寿命波动等等都可看作或近似看作正态分布。在电子元器件可靠性的计算中，正态分布主要应用于元件耗损和工作时间延长而引起的失效分布，用来预测或估计可靠度有足够的精确性。由概率论可知，只要某个随机变量是由大量相互独立、微小的随机因素的总和所构成，而且每一个随机因素对总和的影响都很均匀、都很微小，那么，就可认定这个随机变量近似地服从正态分布。)(~2、简记为NT251.正态分布的失效概率密度函数f(t)式中μ—随机变量的均值；σ—随机变量的标准差。28)-(1)(e21)(222)-(-ttfμt正态分布的失效概率密度函数f(t)曲线图如图1-18所示。262.正态分布的累积失效概率函数F（t）正态分布的累积失效概率函数F（t）的图形如图1-19所示29)-(1de21)(-2)-(-22ttFtt图1-19正态分布的累积失效概率函数效概率函数为准化正态分布的累积失则可得到标）代入式（若令,29-1-tz30)-(1de21)()(-21-2zztFzz正态分布的累积失效概率函数F（t）值可查附表1求得（见下页）。27摘自附表1正态分布表283.正态分布的可靠度函数R（t）正态分布的可靠度函数R（t）图形如图1-20所示。31)-(1de21)(222)-(-ttRtt图1-20正态分布的可靠度函数R（t）294.正态分布的失效率函数λ(t）正态分布的失效率函数λ(t）的图形如图1-21所示。32)-(1d21/e21)()()(22222)(2)-(-tetRtftttμt返回130四、对数正态分布在可靠性理论中，对数正态分布用于由裂痕扩展而引起的失效分布。如疲劳、腐蚀失效。此外，也用于恒应力加速寿命试验后对样品失效时间进行了统计分析。随机变量t的自然对数lnt服从均值为μ和标准差为σ的正态分布，称为对数正态分布。这里μ和σ不是随机变量t的均值和标差差，而是lnt的均值和标准差。311.对数正态分布的失效概率密度函数f(t)对数正态分布的失效概率密度函数f(t)图形如图1-22所示。33)-(1e21)(222)(lntttf图1-22对数正态分布的失效概率密度函数322.对数正态分布的累积失效概率函数F(t)对数正态分布的累积失效概率函数F(t)的图形如图1-23所示。34)-(1de21)(222)(ln0tttFtt图1-23对数正态分布的累积失效概率函数0333.对数正态分布的可靠度函数R（t）对数正态分布的可靠度函数R（t）的图形如图1-24所示。35)-(1d21)(2)(ln22tettRtt图-24对数正态分布的可靠度函数34对数正态分布的失效率函数λ（t）的图形如图1-25所示。4.对数正态分布的失效率函数λ（t）36)-(1d11)()()(2)(ln2)(ln2222ttttetettRtft图1-25对数正态分布的失效率函数返回135习题一答案1.某仪器的寿命服从指数分布，且失效率λ=0.01/kh,求该仪器工作到可靠度R=90%时的时间。答案：t=10536.1h。2.设产品的失效率函数为)(00)(。和平均寿命度函数求该产品的失效概率密tfttt答案：1MTTF)2(e00)()1()-(-tttft363.设产品的失效概率密度函数为))(0e00)(2-2。（和失效率函数求该产品的可靠度函数ttRttttft答案：000)(0e01)(2-2tttt