对数与对数函数(经典)

§2.6对数与对数函数1．对数的概念如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM.(2)对数的性质①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5.(√)(2)2log510＋log50.25＝5.(×)(3)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2.(√)(4)log2x2＝2log2x.(×)(5)当x1时，logax0.(×)(6)当x1时，若logaxlogbx，则ab.(×)2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．cbaB．bcaC．acbD．abc答案D解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然abc.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy答案D解析2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy)．故选D.4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．答案(－12，＋∞)解析函数f(x)的定义域为(－12，＋∞)，令t＝2x＋1(t0)．因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f13＝0，则不等式f(log18x)0的解集为________________．答案0，12∪(2，＋∞)解析∵f(x)是R上的偶函数，∴它的图象关于y轴对称．∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，由f13＝0，得f－13＝0.∴f(log18x)0⇒log18x－13或log18x13⇒x2或0x12，∴x∈0，12∪(2，＋∞).题型一对数式的运算例1(1)若x＝log43，则(2x－2－x)2等于()A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f(x)＝log2x，x0，3－x＋1，x≤0，则f(f(1))＋f(log312)的值是()A．5B．3C．－1D.72思维启迪(1)利用对数的定义将x＝log43化成4x＝3；(2)利用分段函数的意义先求f(1)，再求f(f(1))；f(log312)可利用对数恒等式进行计算．答案(1)D(2)A解析(1)由x＝log43，得4x＝3，即2x＝3，2－x＝33，所以(2x－2－x)2＝(233)2＝43.(2)因为f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.因为log3120，所以f(log312)＝3－log312＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3.所以f(f(1))＋f(log312)＝2＋3＝5.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f(x)＝12x，x≥4，fx＋1，x4，则f(2＋log23)的值为________．答案124解析因为2＋log234，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)，而3＋log234，所以f(3＋log23)＝(12)3＋log23＝18×(12)log23＝18×13＝124.题型二对数函数的图象和性质例2(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()(2)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log213)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是()A．cabB．cbaC．bcaD．abc思维启迪(1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的．答案(1)C(2)B解析(1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)log213＝－log23＝－log49，b＝f(log213)＝f(－log49)＝f(log49)，log47log49,0.2－0.6＝15－35＝5125532＝2log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)f(log213)f(log47)，即cba.思维升华(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a＝21.2，b＝12－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为()A．cbaB．cabC．bacD．bca(2)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a＝________，b＝________.答案(1)A(2)22解析(1)b＝12－0.8＝20.821.2＝a，c＝2log52＝log522log55＝120.8＝b，故cba.(2)f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，∴b－1＝1b＝a，即b＝2a＝2.题型三对数函数的应用例3已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a来解决；探究a是否存在，可从单调性入手．解(1)∵a0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)最小值为3－2a，当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax0恒成立．∴3－2a0.∴a32.又a0且a≠1，∴a∈(0,1)∪1，32.(2)t(x)＝3－ax，∵a0，∴函数t(x)为减函数，∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，∴a1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴3－2a0loga3－a＝1，即a32a＝32，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间[12，2]上的值域．解(1)由4x－10，解得x0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设0x1x2，则04x1－14x2－1，因此log4(4x1－1)log4(4x2－1)，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上递增．(3)f(x)在区间[12，2]上递增，又f(12)＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在[12，2]上的值域为[0，log415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．abcC．bacD．acbA．abcB．bacC．acbD．cab(3)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是()A．bacB．cabC．cbaD．acb思维启迪(1)利用幂函数y＝x0.5和对数函数y＝log0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、－log30.3＝log3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x)＝xf(x)的单调性，再根据20.2，logπ3，log39的大小关系求解．解析(1)根据幂函数y＝x0.5的单调性，可得0.30.50.50.510.5＝1，即ba1；根据对数函数y＝log0.3x的单调性，可得log0.30.2log0.30.3＝1，即c1.所以bac.方法一在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示．由图象知：log23.4log3103log43.6.方法二∵log3103log33＝1，且1033.4，∴log3103log33.4log23.4.∵log43.6log44＝1，log31031，∴log43.6log3103.∴log23.4log3103log43.6.(3)因为函数y＝f(x)关于y轴对称，所以函数y＝xf(x)为奇函数．因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，且当x∈(－∞，0)时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)0，则函数y＝xf(x)在(－∞，0)上单调递减；因为y＝xf(x)为奇函数，所以当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减．因为120.22,0logπ31，log39＝2，所以0logπ320.2log39，所以bac，选A.答案(1)C(2)C(3)A温馨提醒(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)