矢量运算及微积分初步

矢量分析、微积分知识初步9绪论3.矢量标量：只有大小（一个数和一个单位）的量，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。矢量：既有大小又有方向的量，并有一定的运算规则，例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电场强度等。普通物理中的物理量大致分为两类：标量和矢量•矢量和标理矢量矢量和标量10矢量的图示一单位AA等矢量AA负矢量矢量平移（大小和方向不变），矢量不变AAABBB11•矢量的模与单位矢量矢量的大小称为矢量的模，用A或A表示矢量Ae，其模为１、方向与相同，称为单位矢量AAAeAA12直角坐标系xyzijkijk、、为Ｘ、Ｙ、Ｚ方向的单位矢量。13矢量结合法则1)矢量加法：遵从平行四边形定则交换律：结合律：CBACBAABBA)()(绪论矢量运算基本规律14简化为ABBACBABAC矢量合成的三角形法则ABCDRDCBAR152)矢量的数乘ACACACCA平行于－平行于方向大小00结合律：分配律：BABAAA)()()(绪论163)矢量的分解在一个平面内，若存在两个不共线的矢量则平面内的任一矢量可以分解为：21ee和2211eAeAA常用21ee称为正交分解三维空间中应有3个不共面的矢量绪论17•矢量在直角坐标系下的表示（二维推广到三维）xyAxAyAjAiAAyx模：22yxAAAjBAiBABAyyxx)()(三维：kAjAiAAzyx模：222zyxAAAAkBAjBAiBABAzzyyxx)()()(181)标量积（点积、内积）方向的投影在为为单位矢，若的夹角与为BABABBAABBAcos两个矢量的点积为一标量。交换律：分配律：CBACBAABBAA)(绪论•矢量的积19直角坐标系下的表示因为Ｘ、Ｙ、Ｚ轴相互垂直，所以0;0;01;1;1kjkijikkjjii)()(kBjBiBkAjAiABAzyxzyxzzyyxxBABABA202)矢量积（叉积、外积）CBA是一个轴矢量大小：平行四边形面积方向：右手螺旋)0(sinABBACABC绪论21矢积的性质：)()()(0)(BACCABCBAAACABACBAABBA矢量的混合积CABACBBACCBA)()()()（结果为平行六面体的体积绪论22直角坐标系下的表示（右手系）xyz右手系yxz左手系jikikjkji;jkiijkkij;00;0kkjjii23)()(kBjBiBkAjAiABAzyxzyxkBABAjBABAiBABAxyyxzxxzyzzy)()()(写成行列式zyxzyxBBBAAAkjiBA244.导数1）问题的提出——切线问题T0xxoxy)(xfyCNM如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx252）导数的定义,,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义,)(00xxxxdxxdfdxdy或26.)()(lim)(0000hxfhxfxfh其它形式.)()(lim)(0000xxxfxfxfxxxxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000即应当指出，函数f(x)的导数f´(x)本身也是x的一个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫函数y=f(x)的二阶导数。)()()(22xfdxddxdydxddxydxfy依此类推，可以定义高阶导数。273）导数的几何意义oxy)(xfyT0xM)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为).)((000xxxfyy284）由定义求导数步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.)(0C即305）导数的运算ⅰ°和、差、积、商的求导法则定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu31ⅱ°基本初等函数的导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(32ⅲ°复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或导数为的则复合函数而设例1.sin223的导数求xxxy解：23xyx4.cosx利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.33例2.ln2sin的导数求xxy解：xxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2.2sin1ln2cos2xxxx例3.tan的导数求xy解：)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos134例4.sinln的导数求函数xy解：.sin,lnxuuydxdududydxdyxucos1xxsincosxcot例5.)1(102的导数求函数xy解：)1()1(10292xxdxdyxx2)1(1092.)1(2092xx355.微分1）问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2020)(xxxA.)(220xxx)1()2(;,的主要部分且为的线性函数Ax.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xx2)(xxx0xx0绪论362）微分的定义定义.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分ydy(微分的实质)绪论37例解：.02.0,23时的微分当求函数xxxyxxdy)(3.32xx02.02202.023xxxxxxdy.24.0.,,xdxdxxx即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量.)(dxxfdy).(xfdxdy..微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分dxdy绪论383）微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.ⅰ°基本初等函数的微分公式xdxxdxdxxddxxxdCdsin)(coscos)(sin)(0)(1ⅱ°函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvuddxxxddxeedxx1)(ln)(绪论39例1解：.),ln(2dyexyx求设,2122xxexxey.2122dxexxedyxx例2解：.,cos31dyxeyx求设)(cos)(cos3131xdeedxdyxx.sin)(cos,3)(3131xxeexxdxxedxexdyxx)sin()3(cos3131.)sincos3(31dxxxex绪论小结：★微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题导数的概念函数的增量问题微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.★导数与微分的联系:.可微可导406.积分abxyo?A1）问题的提出——求曲边梯形的面积)(xfy可以用矩形面积近似取代曲边梯形面积.显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．abxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）绪论41abxyoiix1x1ix1nx曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(1当等分间隔无穷多时：xxfAniinx)(lim10绪论42badxxf)(xxfininx)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba积分上限积分下限积分和2）定积分的定义上式的这个极限称为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为绪论433）定积分的几何意义,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba绪论原函数的概念：)()(xfxF不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系小结定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似：以直（不变）代曲（变）取极限小结定积分的实质：特殊和式的极限．其实高数并不难！！！作业：见“虚拟教室”上练习题作业：见“MYSTU”上练习题