完整word版-向量方法在高中数学解题中的应用

1向量方法在高中数学解题中的应用王贤举摘要：向量具有丰富的物理背景。它既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁。通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何问题相互转化的一些实例，体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优点。关键词：高中数学；向量法；解题；应用Abstract:Thevectorhasrichphysicalbackgrounds.Itisboththeobjectofgeometryandtheobjectofalgebra,andalsoisthebridgeofalgebraandgeometry.Bysomeexamplesaboutvectormethodsthatmakesomealgebraproblemsintogeometryproblems,ormakesomegeometryproblemsintoalgebraproblems,ormakealgebraproblemsandgeometryproblemstransformmutually,itmanifeststhemeritofvectormethodsinsolvingalgebraandgeometryproblemsinseniorhighschoolmathematics.Keyword:Seniorhighschoolmathematics;Vectormethods;Problemsolving;Application1、向量与高中数学教学向量是既有大小，又有方向的量【1】，是数学中的重要概念之一。向量具有丰富的物理背景，如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是向量。在高中数学新课程中设置向量的内容，是基于以下几方面原因：1.1向量是几何的研究对象物体的位置和外形是几何学的基本研究对象。向量可以表示物体的位置，也是一种几何图形（几何里用有向线段表示向量：所指的方向为向量的方向，线段的长度表示向量的大小），因而它成为几何学的基本研究对象。作为几何学的研究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。1.2向量是代数的研究对象运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行加、减、数乘、数量积（点乘）等多种运算，这些运算及其规律赋予向量集合特定的结构，使得向量具有一系列丰富的性质。向量的运算及其性质自然成为代数学的研究对象。1.3向量是代数研究对象和几何研究对象的桥梁。2著名数学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢.它们的应用就狭窄。但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸收新鲜的活力，从而以快捷的步伐走向完美”。我国著名数学家华罗庚先生也有“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的精辟论述。高中数学中引入向量后【2】，通过在代数、几何中应用，改善教材结构、简化解题方法，也可通过在几何中的应用，加深对向量内容的理解。数学《新大纲》【3】引入向量后学习这部分内容既可了解向量的实际应用，又可加深对该部分内容的理解。本文通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何问题相互转化的一些实例，体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优点。从而让学生学会使用向量法来解决高中数学问题，提高数学解题能力。2、向量方法在高中数学解题中的应用2.1、向量法使代数问题几何化向量沟通了代数与几何的联系，因此对某些代数问题，如能巧妙地构造向量，便能将其转化为几何问题【4】，从而使问题简化。例1、证明：对于任意两个向量ba，，都有|b||a||b|||b|-|a||a。证明：若ba，中有一个为0，则不等式显见成立若ba，都不是0时，作aOA,bAB则baOB.（1）当ba，不共线时，如图1所示，则||||||||AB||OA||OBOAOB,即|||||a|||b||a||bab.（2）当ba，共线时，若ba，同向，如图2所示，|||OA||OB|AB即|||||ba|ba.若ba，反向，如图3所示，|OB|||AB||OA||,则|ba|||b||a||综上可知：|b||a||ba|||b||a||.3评注：该命题的证明方法有多种，但应用向量工具把代数问题几何化，使其理解更容易和具体化。通过向量具有数形结合的性质，当两个向量不共线时，利用向量的三角形法则，转化为几何中三角形的性质进行讨论，得出|b||a||ba|||b||a||—.当两向量共线时，转化为对线段的讨论，从而可得到|b||a||ba|||b||a||—。2.2、向量法使几何问题代数化通过对向量的学习可知，向量有一整套的符号和运算系统，对大量的几何问题，不但可以用向量的语言加以叙述，而且完全可以借助向量的方法予以证明，从而把抽象的逻辑推理转化为具体的向量运算【5】。例1、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。证明：如图4所示，在RtABC中，CRt，D是AB边上的中点。由向量加法的平行四边形法则知)CBCA(21CD,))(CA(41CDCBCACBCD，0CACB2222||41)|||CA(|41|CD|ABCB.|AB|21|CD|评注：向量作为联系代数与几何图形的最佳桥梁，它可以使图形量化，使图形间的关系代数化。本题将直角三角形的各边及斜边上的中线用向量表示出来，利用平面向量的平行四边形法则和两向量垂直时数量积为0，转化为向量的代数运算，得AB21CD，即证得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。例2、设抛物线220ypxp的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点。点C在抛物线的准线上，且BC//x轴.求证：直线AC经过原点O【6】。证明：如图5所示，设211,2yAyp，222,2yByp，4由题设可知2,0,,22ppFCy，故1212,2AFyppy,122122,2AByypyy.由三点共线，知AB//AF,2222121211022pyyyyyypp,221120yypyy.12222121,,ypypyyyy121,2AOypy12122121221,2,22ACypppyyppyyy22222111110,22ypypyypyp且直线AO与直线AC有公共点A，A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O.评注：用向量方法去解传统的立体几何题也是有优势的，能使问题很清晰，本题通过建立平面直角坐标，可得到向量ACAOABAF,,,。根据三点共线得ABAF,是共线的向量，从而可求得ACAO,也是共线向量。由平面上共线的两向量有公共点时，那么这三点在同一直线上，所以直线AC经过原点O。例3、如图6,在直三棱柱111ABCABC中,底面是等腰直角三角形,90ACB,侧棱12AA,,DE分别是1CC与1AB的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。(1)求1AB与平面ABD所成的角的大小(结果用反（图5）5三角函数值表示);(2)求点1A到平面AED的距离。解:以C为原点,1,,CACBCC分别为,,xyz轴,建立空间直角坐标系,设CAa则)2,0a(1,0,00a0)20a(1，），（），，，（，，，ADBA,从而,,1,22aaE1,,,333aaG),1,0,(ADa32,6,6GEaa,由ADGE得,0ADGE即22063a,2a.(1)设1AB与平面ABD所成的角,即BE与BG所成的角为,),1,1,1(BE),31,34,32(BG,37||||.cosBGBEBGBE7arccos3.(2)设点1A在平面AED上的射影为,,,Hpst则,,HA11EHHAAH,HA1DH即，，00,0HA111DHHAEHHAAH代入运算得222220,211210,2120.psttppssttppstt4,32,32.3pst或2,0,2.pst(舍去)422,,,333H从而22214222622.3333AH评注：向量解决问题的直接好处体现得异常充分,学生比较容易找到落脚点,把空间的问题转化为代数问题,从向量的角度切入,可以有效地避开很多难点。本题通6过建立空间直角坐标系，设CAa，得到向量GEAD,,BGBE,。根据空间直线与平面间的定理可得ADGE，算出CA的长，在由BGBE,之间的数量积、夹角和模的关系，可求出BGBE,的夹角，即为设1AB与平面ABD所成的角。设点1A在平面AED上的射影为),,(tspH，可得到向量DHHAEHHAAH111,,HA由两向量垂直时其数量积为0得,0HA1AH0,0HA11DHHAEH可算出1AH的长度，也就是点1A到平面AED的距离。2.3、向量法使几何与代数问题相互转化在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。建立适当的直角坐标，通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来【7】，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用解析法来解决实际问题。例1、已知直线'AA⊥平面α，直线'BB⊥平面α，垂足分别为A，B。求证：'AA∥'BB证明如图1，在平面α内，过点A作互相垂直向量ADAC,，以',,AAADAC三个不共面的向量作为基底，沿基底，分解向量'BB，由空间向量基本定理可设ACAAzACADyACACxACBB''，（1）ADAAzADADyADACxADBB''（2）由'BB⊥α，得'BB⊥AC，'BB⊥AD，同理'AA⊥AC，'AA⊥AD.又AC⊥AD，∴0,0,0,0,0''''ADAAACAAADBBACBBADAC且0,0ACAD，分别代入（1）、（2）得0,0yx.∴'AA∥'BB。.评注：本题根据空间的任一向量都可以用不共面的一组基底线性表示，利用不共线向量基本定理及两向量垂直时的数量积为0，证得)(''RAABB，则（图1）7'BB∥'AA。例2、如图2，给出定点)0)(0,(aaA和直线1:xlB是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C，求C点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型a值的关系。解设,0),,(),,1(),0,(axyxOCbBCaOA则),,1(),,(byxBCyaxAC由OC平分BOA，知BOCAOCcoscos(1)当,0,0,0axyb∵,OCOBOCOBOCOAOCOA∴21bxbyx…………………………………①又AC与BC共线，有,0)1())((xybyax∴.1yxaab………………………………②将②代入①得：)0(0)1(2)1(22axyaaxxa………③(2)当0b时，AOB，点C（0，0）适合③。综上（1）、（2）得C的轨迹方程为：).0(0)1(2)1(22axyaaxxa评注：本题通过数形结合，建立平面坐标，设出相应的向量OCBCOA、、，可得到向量BCAC,，根据角平分线定理得向量OCOA,和OCOB,的夹角相等，找出等量关系式,OCOBOCOBOCOAOCOA进而求出c点的轨迹方程