投资组合分析

数学建模课程设计报告表设计题目：投资组合问题论文名称：投资组合优化小组成员指导教师姓名：张勇职称：副教授所在单位：数学科学学院电子科技大学数学科学学院制表2016年6月13日填姓名学号专业所在学院张伟豪2014040201016数学物理基础科学物理电子黎颖2014040206003数学物理基础科学物理电子吴明君2014040204033数学物理基础科学物理电子课程设计负责姓名主要工作备注张伟豪建模，写作，排版黎颖编程，排版吴明君写作，排版完成时间：2016.07.07（以下由老师填写）论文评阅评分项得分问题分析基本假设模型建立模型求解模型结果论文叙述加分因素总分评阅教师签名（盖章）：评语：1投资组合问题摘要投资组合问题是应用相当广泛，本文拟设计一种投资组合方案，即用该公司给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小.本文从单目标决策理论建立最优解模型，利用lingo设计算法求得在一年投资规划中，投资年平均收益率的期望值为0.1538906。在五年投资规划中考虑风险与收益间的平衡，以多目标决策的理论与方法建立风险收益相关关系模型，并通过设定风险承受系数，使之简化为单目标决策问题，利用lingo求解分析得出风险与收益的关系——收益越大，风险越大。并设计算法拟合出收益与风险的函数关系式。在求解最佳风险收益值时，利用曲率公式2/3''')1(2yyK设计算法求得最大曲率半径时最佳风险与收益值为：g2=0.7997，R=9.1435并由此计算得到净收益尽可能大，风险尽可能小的最优方案。关键词线性规划，多目标决策，拟合，乐观程度2一．问题重述某公司有6千万元用于投资，投资方式主要有储蓄，债券，股票，若干理财产品和项目投资。储蓄利率如下表3个月（%）6个月一年二年三年五年2.602.803.003.754.254.75债卷的年收益率为4%，股票的平均收益12%，风险较大；理财产品这里指的是百度百赚和余额宝等。要求股票投资额不得超过总额的50%不得少于总额的10%，理财产品投资额不得低于总资金15%。公司给出去年在5个项目A1-A5的投资月收益率，分析表中数据来确定公司的下一步投资计划。由于市场受限，对项目A1，A2，A3的每项投资不得超过1千万元，对A1，A4投资总额不得超过2千万元，对A5投资不得超过2,5千万元。建立模型，解决下面俩问题1.做一个一年投资规划，使预期的总期望收益尽可能最大。2.做一个五年投资计划，并分析上述投资方案的风险，问是否可以对上述模型进行调整，或者建立一个新的模型，使投资方案更合理。投资项目/年储蓄A0债券A1股票A2百度百赚A3余额宝A4收益率/%3.004.0012.006.2876.1629风险损失率/%0XY0.87230.3946百度百赚，余额宝在网上找到资料数据，用模型一均值方差得到年平均收益率和风险损失率，但对于股票和债券的风险损失率只能靠赋值解决。二．问题分析问题一是首先利用去年投资项目的月收益率，通过计算分析，数据处理，得到年收益率最终用来线性规划的一种最优化问题。问题二令储蓄为A0，债券为A1，股票为A2，百度百赚为A3，余额宝为A4当引入风险损失率时，我需要考虑两点要求：1，在风险一定情况下，取得最大利益；2，在收益一定的情况下，我们所承担的风险损失最小。不同的投资者对利益和风险侧重点不同，但在一定范围内都是正常的，所以我们要求选择一种尽可能好的方案——风险尽量小，收益尽量大。储蓄的年收益率与储蓄时间有关，风险为零，其他投资项目虽然有一定风险但收益可能大于银行利率，我们建立一个模型，这个模型对一般投资者都适用，并根据他们的风险承受能力的不同，可以提出多个适用于各种投资人的方案。风险指标用g表示.三、模型假设1，投资期按一年为一周期。32，资金全部用于投资或存在银行。3，投资期间资金不做其他交易，收益在年终实现。4，总体风险由最大风险来刻画。5，风险损失率指投资到期后，如果风险发生，损失占投资额的百分比四、定义与符号说明1，M投资的全部资金2，Ai投资者选择的第i种资产3，ri购买资产第Ai种资产的平均收益率（r0银行利率）4，qi购买资产第Ai种资产的风险损失率5，xi投资者选择的第i种资产占总资产的比例6，i为第Ai种资产在时期内的平均收益率7，g为风险承受常数五、模型建立和求解问题一，线性规划求最优解模型，实现预期投资的总收益最大。51iiirMxMax123145511000100010002000250010,1,2,..5iiiMxMxMxMxMxMxxxi最后通过lingo求解此线性规划，可以看出投资年平均收益率为0.1538906。问题二模型一先对一年为一周期进行模型的建立。用均值方差模型实现风险指标的引入，，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资中iA的最大风险来衡量。)()(iiiiDqEr4这个模型的前提是需要大量的数据，我们需要自己查阅资料寻找投资的这几个项目年平均收益率，进而刻画求出他的风险损失率。模型二多目标决策模型001niiiMaxRxrxr1()iiinQMaxxq将多目标规划转化为单目标规划若有m个目标)(xfi，分别赋予权系数i（i=1,2,,,m)然后做新的目标函数)()(1xfxUmiii有两个目标函数，所以有相应的两个权系数，可以采用算法，（称作乐观程度），将目标规划转化为))1()((100iiniiiqxrxrxMax模型三考虑到模型目标Q难以处理，对模型二进行优化，引进参量g表示投资者的风险承受能力，所以要求gqxii，这样使得投资分散，风险也就相应减少，得到对风险的一种量化方式。对于Q的目标函数由原来的1()iiinQMaxxq变为约束条件gqxii简化模型为niiirxrxMaxR100gqxii140iix5.01.02x115.043xx0ix这个模型是一个单目标的线性规划，在给定的g值下，很容易求出此时的最优解，又可以根据个人承受能力给出一系列的g值，求出一系列的最优值。通过对这一系列的（g,R)的拟合，得到一个函数关系式)(gfR，运用数学方法以求得一个合理的投资方案。模型求解，不妨令债券A1，股票A2的风险损失率分别为：X=0.1%，Y=1.5%利用lingo软件求解模型三得到对应不同的g值对应的最优解，列表如下图由于对于项目xi有限制条件，所以g的取值下限也就相应固定，股票的取值下限为0.1与其风险0.015乘积即为0.0015.g的取值下限也就为0.0015.g/%投资项R/%0x1x2x3x4x50.156.015500.34790.10000.17200.38010.206.687300.13050.13330.22930.50680.257.1713000.16670.28660.54670.307.3730000.20000.34390.45610.407.7764000.26670.45860.27480.508.1800000.33330.57320.09350.608.5722000.40000.600000.708.9531000.46670.533300.809.1435000.50000.500001.009.1435000.50000.500002.009.1435000.50000.5000010.009.1435000.50000.50000从表中数据可以看出，)(gfR，g越大，R就越大，即风险大，收益大，但是当g增大到一定地步时，R就趋于不变，在该模型约束中也是符合实际的。通过对上述数据的分析，我们不妨把投资者进行分类分为三个类型：保守型，温和型，冒险性，由上表可以看出当资金分散时，投资者所承担的风险也就越小，这与题意是一致的，而冒险性投资者会出现投资集中地情况，而保守者则尽量的分散投资。我们又对一系列坐标点（g,R)，进行多项式拟合，六次拟合状况如下图得到R-g的函数关系式为6543235.1528225.6339487.6946487.2467245,80164.44960.4612Rgggggg由图可知，尽管当g增大时，R也同时增大，但其增长的速度也即)('gf在一定区间],[ba内迅速减少。我们认为在)('gf发生相对剧烈变化的区间投资是合理的，因为在现实生活中，正常人不会冒相对较多的风险，去求取相对较小的利益，这就指的是bg的投资区域。同理也不会害怕相对较小的风险而抛弃相对较大的利益，这里指区间ag。在这里，)('gf可以理解为每个6单位风险所获得的利益，有注意到)('gf急速减小后将保持相对稳定，我们只需要找到在区间],[ba中曲率最大的g即)(gf函数线最弯曲的点（拐点）对应投资方案最佳投资方案。即对应曲率公式2/3''')1(2yyK要求函数K取最大值对应的点，也就最佳方案对应的点。在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快.在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，由曲率求解得此点：g2=0.7997，R=9.1435g1=0.2910;g2=0.7997.g1属于保守型最优解；g2属于冒险型最优解。该解符合生活实际，也是人们首选的投资的方案。%/g投资项目%/R%/0x%/1x%/2x%/3x%/4x0.29107.3370019.4033.3647.240.79979.14350050500做一个五年计划，可以以上面一年为一周期，一年的最优组合连续实现5年，最终得到最优解，最大收益9.1435%/年六．模型结果分析（与检验）（1）拟合状况对最优方案的影响由于是以拟合曲线在一定范围内的极大值点作为最优解。但考虑到实际中拟合曲线，存在一定误差，因而我们所选取的方案不一定是最好的方案，但是肯定在最好的方案附近。为解决这个问题，可以缩小步长法，将各个点的坐标用线段连起来，通过分析得到各线段，找到斜率变化相对剧烈的区间，进一步缩小范围，在该区间内进行二次拟合，确定精确解。得到一般情况下的最好方案。（2）灵敏度分析在我们所建立的模型中，假定的iiqr,都是常数，但实际中这些数据往往是估测值和预测值，市场和人为因素对这类参数有一定的影响，当iiqr,有微小的变化时，目标函数的变化是否很大我们需要进行灵敏度分析。不妨在g=0.60时，使iiqr,有微小的增长，求出目标函数f的变化幅度并列表分析iq。7价与七.模型推广（1）在不需要太高精度而只需要要大概比例时，在分配资金时，可根据jiqq,的比例确定两者资金比例，即jijiqqxx//。(2)当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致.即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资.八．参考文献[1]钱颂迪等，运筹学，清华大学出版社，北京，1990.[2]周汉良，范玉妹，数学规划及其应用，冶金工业出版社，北京，1985[3]陈雨露，赵锡军，金融投资学，中国人民大学出版社，北京，1996[4]李庆扬等，数值分析，华中理工大学出版社，武汉，1996九．附件清单附件1:问1总体收益最大求解代码model:max=0.1120*x1+0.1550*x2+0.1290*x3+0.1720*x4+0.1440*x5;x1=0.1666;x2=0.1666;x3=0.1666;x1+x4=0.333;x5=0.416;x1+x2+x3+x4+x5=1;x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;x5=0；ir增长幅度增长幅度f变化幅度1%01.13%2%02.26%5%05.65%10%012.1%01%-0.86%02%-1.72%05%-5.42%010%8.23%10%10%6.12%5%10%2.13%8endGlobaloptimalsolutionfound.Ob