浅谈向量在中学几何中的应用

word精品文档,可编辑,欢迎下载浅谈向量在中学几何中的应用摘要：向量是新教材中的新增内容，以向量为载体的解中学几何问题是新课程高考中出现的新趋势，本文就有关向量在中学几何中的应用谈谈自己的看法。关键词：向量；向量的模；向量的加法和减法；向量与解析几何；向量与立体几何一.平面向量在解析几何中的应用1.向量坐标与点的坐标向量坐标与点的坐标是不同的，设1122,,,AxyBxy，则2121,ABxxyy，但当向量是以坐标原点为起点时，向量坐标就是点的坐标，即1,1OAxy.例1（01天津）设坐标原点为O，抛物线22yx与过焦点的直线交于A、B两点，则OBOA解：设11,Axy、22,Bxy，则11,OAxy，22,OBxy22121212124yyOAOBxxyyyy，又抛物线22yx的焦点为1,02F，可设直线AB方程为12xmy代入22yx得2210ymy，121yy，故13144OAOB。2.利用向量的数量积求夹角由cos,ababab可知,向量的数量积在解决与长度、角度有关的问题时非常有效.例2．（04全国）给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于AB两点，设l的斜率为1，求OA与OB的夹角的大小；解：抛物线的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为1yx将1yx，代入方程24yx，并整理得2610xx设1122,,,AxyBxy，则有126xx，121xx112,212121212,213OAOBxyxyxxyyxxxx22221122121212||||[4()16]41OAOBxyxyxxxxxx∴314cos,41OAOBOAOBOAOBword精品文档,可编辑,欢迎下载∴OAOB与夹角的大小为314arccos413.利用0abab处理解析几何中有关垂直的问题例3．（04重庆）设0p是一常数，过点2,0Q的直线与抛物线22yx交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）.试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.分析:证抛物线顶点在圆H的圆周上,即证OAOB,即证0OAOB解：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：2ayx.设,,,AABBAxyBxy｝，则其坐标满足222ayxyx消去x可得2240yay，则24ABAByyayy44)(,24)(422BABABABAyyxxayyaxx因此0,ABABOAOBxxyy即OAOB，故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H,HHxy是AB的中点，故.2,222ayyyaxxxBAHBAH由前已证，OH应是圆H的半径，且45||2422aayxOHHH.从而当a=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.例4．（04安徽春季）如图（1）,A、B、C是长轴为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心，,||2||ACBCBCAC，求椭圆的方程.解:建立如图（1）的直角坐标系,则2,0A,设椭圆方程为22214xyb,点C的坐标为,mn,则点B的坐标为,mn.ACBC,0ACBC,即2,2,20mnmn,图（1）2220mmn①2BCAC,COAC,即22222mnmn,1m将m=1代入①,得n=1,1,1C代入椭圆方程得21114b,243b,xBACyOword精品文档,可编辑,欢迎下载故所求的椭圆方程为223144xy4.利用平行向量的等量关系式得到点坐标之间的关系例5．（04全国）设双曲线C：22210:1xyalxya与直线，相交于两个不同的点A、B，设直线l与y轴的交点为P，且5,12PAPB求a的值.分析:设A、B两点的坐标，由512PAPB就得到了A、B两点坐标的等量关系，再利用韦达定理，通过解方程组得a的值。解：由双曲线与直线相交于两个不同的点，故知方程组22211xyaxy有两个不同的实数解,消去y并整理得：22221220axaxa①∴2422104810aaaa021aa解得且设1,122,,,0,1AxyBxyp112255,(,1)(,1).1212PAPBxyxy125.12xx由此得由于12,xx都是方程①的根，且210a,222222217252,.121121aaxxaa所以222228917,0,16013axaaa消去得,由所以例6．（04江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M.若2MQQF，求直线l的斜率.解：（I）设所求椭圆方程是222210xyabab由已知，得1,,2ccma所以2,3ambm.故所求的椭圆方程是2222143xymm（II）设Q,QQxy，直线:,0,lykxmMkm则点当2,MQQF时,0,0,FmMkm由于，则,QQMQxykm，,QQQFmxy，得22QQQQxmxykmy，2,3Qmx3Qkmy，word精品文档,可编辑,欢迎下载222224299(,),13343mkmmkmQmm又点在椭圆上所以，26.k解得2MQQF当时，同理得Qykm，2,Qxm于是2222241,043mkmkmm解得，故直线l的斜率是0，26.5．从直线的方向向量中得到直线的斜率在直线l上任取两点1122,,,AxyBxy，则2121,ABxxyy为直线l的方向向量，当21xx时，212121211,1,yyABxxxxkxx，而k即为直线l的斜率.例7．（03全国）已知常数a0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.分析：本题的关键是从直线的方向向量中求得过点P的两条直线方程，用交轨法求得点P的轨迹方程,据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.解：∵i=（1，0），c=（0，a），(,)cia，2(1,2)ica,因此，直线OP和AP的方程分别为yax和2yaax,消去参数λ，得点,pxy的坐标满足方程222yyaax,整理得22221182ayxa……①因为0a所以得：（i）当22a时，方程①是圆的方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当202a时，方程①表示椭圆，焦点211,222aEa和211,222aFa为合乎题意的两个定点；（iii）当22a时，方程①也表示椭圆，焦点2110,22Eaa和2110,22Faa为合乎题意的两个定点.向量与解析几何的融合充分体现了数学中的数形结合思想,解决这类问word精品文档,可编辑,欢迎下载cbaBDCA题的关键是利用向量的坐标表示,将问题中的形转化为数的关系,是解析几何新的解题思想.二.空间向量与立体几何用传统的综合推理法解立体几何问题往往需要较强的空间想象力，在解决角度、距离问题时技巧性较强，一旦思路受阻就只能放弃，新课程增加的空间向量利用代数的方法，为解决这些问题提供了通用方法。其显著优点是减弱了推理论证的成份，用计算来代替论证，其缺点是计算量加大。如果在解决问题的过程中推理论证与向量运算综合运用，则不失为一种好办法！方式的选择用向量解题有两种方式可供选择，一种是直接用向量代数式运算，一种是向量的坐标运算。一般来说，用向量的坐标运算，思维及运算技巧更容易掌握，因而我们尽可能采用坐标运算方式。坐标运算方式的弱点是要精确的写出各个点的坐标，准确无误地写出相关向量的坐标，坐标一错则全盘皆错，另外，有些情况下可能并不是很方便建立直角坐标系，此时不妨考虑用代数式运算，只是运算技巧相对要强一些。1.代数式运算方式用代数式运算方式的要点是在空间图形中选择一组合适的基底，一般选其起点的三个不共面的向量构成基底，这样图形中任何其他向量总可以用这一组基来表示，把相关向量表示出来以后，就可用向量内积运算来讨论向量所成的角，特别是通过内积为零来证明线线垂直，用向量共线来说明线线平行等等。例8.证明：若四面体的两对对棱垂直，则第三对对棱也垂直。已知：四面体ABCD中,.ABCDBCAD求证：ACBD证明:选取从A点出发的三条棱的方向向量构成一组基底，令向量ABa，,,ACbADc,,BCbaCDcbBDca则()0ABCDacb依题意有()0ADBCcba，两式相减得：0bcab图（2）()0ACBDbcabcab所以ACBD即有ACBD命题得证。例9.已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，word精品文档,可编辑,欢迎下载GFDEBACA将此三角形沿DE折成二面角1ADEB，(1)求平面1AGF平面BCED；(2)当二面角1ADEB为多大时，异面直线1AE与BD互相垂直？解:（1）因为DE为中位线，所以1AD=1AE。图（3）又G为DE中点，所以1,AGDE而,DEFG所以DE平面1AGF，又平面BCED经过DE，所以平面1AGF平面.BCDE（２）选取以G作为始点的三个向量1,,GFGAGE构成一组基底，则2DBDGGFFBGEGFGEGFGE1111112121()()cosEAEGGADBEAGFGEEGGAGFEGGFGAGEEGGEGAGFGAGEGFGAGE233cos()444aaa223cos1616aa=23cos116a令10,DBEA得1cos,31arccos()3因为1,,AGDEFGDE所以角1arccos()3即二面角1ADEB的大小。例10.Ｐ是二面角AB棱上的一点，分别在,平面上引射线,,PMPN如果45,BPMBPN60,MPN那么二面角AB的大小为_______.word精品文档,可编辑,欢迎下载BAPMCDN解:在PM上取作向量,PM并设其模长为a，在PN上取作向量PN，使其模长为,b分别过,MN作,MCMD垂直于AB于,CD点，则,CMDN所成的角即二面角的平面角。图（4）,()()2222cos135cos135cos6002222CMCPPMDNDPPNCMDNCPPMDPPNababbaab所以二面角AB的大小为90。评析：此题和前两题比较起来说，似乎没有明确选择基底，实际上是以P点为始点的三个向量作为基向量了。2.向量坐标运算方式用向量坐标运算方式，(1).建立空间直角坐标系，注意尽可能利用已经存在的过同一个点的两两垂直的三线，如果没有三线垂直，也可找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直。一般,,XYZ轴应是右手系