六年级分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11abababababba（2）2222ababababababba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。知识点拨教学目标分数裂项计算【例1】111111223344556。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【【解解析析】】原式111111115122356166提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779，计算过程就要变为：111111113355779192．【答案】56【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【【解解析析】】原式111111111()()......()101111125960106012【答案】112【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【【解解析析】】原式111111112910894534112310715【答案】715【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122，112(12)212232，……，原式22221200992(1)1122334100101101101101【答案】991101【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【答案】50101【【巩巩固固】】计算：1111251335572325【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级【【解解析析】】原式1111112512335232511251225252422512【答案】12【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛【【解解析析】】原式2511111116122334500501501502【答案】211532【【巩巩固固】】计算：3245671255771111161622222929【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算例题精讲【【解解析析】】原式111111111111125577111116162222292912【答案】12【例2】计算：11111111()1288244880120168224288【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，101中学【【解解析析】】原式11111282446681618（）【答案】4289【【巩巩固固】】11111111612203042567290_______【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级【【解解析析】】根据裂项性质进行拆分为：【答案】25【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛【解析】原式111111212312341234567【答案】74【【巩巩固固】】计算：1111111112612203042567290＝【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛【解析】原式111111111()223344556677889910【答案】110【【巩巩固固】】11111104088154238。【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】原式11111255881111141417【答案】534【例3】计算：1111135357579200120032005【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试【解析】原式11111114133535572001200320032005【答案】100400312048045【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2007年，仁华学校【【解解析析】】原式791611111182901133557791331.2540.83【答案】2336【例4】计算：11111123420261220420【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】第五届，小数报，初赛【【解解析析】】原式1111112320261220420【答案】2021021【【巩巩固固】】计算：11111200820092010201120121854108180270=。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【【解解析析】】原式1111120082009201020112012366991212151518【答案】51005054【【巩巩固固】】计算：1122426153577____。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式132537511726153577【答案】1011【【巩巩固固】】计算：1111111315356399143195【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113，2154135，……，21951411315，所以原式11111111335577991111131315【答案】715【【巩巩固固】】计算：15111929970198992612203097029900．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2008年，四中【【解解析析】】原式1111111126129900【答案】198100【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】首先分析出11111111211211nnnnnnnnnnnn原式11111111121223233467787889【答案】35144【【巩巩固固】】计算：1111232349899100【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】原式11111111()21223233434989999100【答案】494919800【【巩巩固固】】计算：1111135246357202224【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】原式＝1135＋1357＋…+1192123+1246+…+1202224＝14(113－12123)＋14(124－12224)＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032【答案】38625340032【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【答案】32009603【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】99123＝1001123＝100123－123＝100123－12398234＝1002234＝100234－2234＝100234－13497345＝1003345＝100345－3345＝100345－145……199100101＝1009999100101＝10099100101－9999100101＝10099100101－1100101原式100100100100111...(...)123234345991001012334100101【答案】5124101【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】原式111111131232342343457898910【答案】1192160【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】原式11111113[(...)]3123234234345171819181920【答案】11396840【例5】计算：57191232348910．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【【解解析析】】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n，所以2323121212nnnnnnnnn，再将每一项的212nn与312nnn分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【答案】2315【【巩巩固固】】计算：5717191155234345891091011