2015年高中数学-第三章-不等式章末测试题(B)新人教版必修5

1【高考调研】2015年高中数学第三章不等式章末测试题（B）新人教版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a、b、c，d∈R，则下面四个命题中，正确的命题是()A．若ab，cb，则acB．若a－b，则c－ac＋bC．若ab，则ac2bc2D．若ab，cd，则acbd答案B解析由不等式性质得B.2．设全集为R，集合M＝{x|lg|x＋1|≤0}，则∁RM等于()A．{x|x－2}∪{－1}B．{x|x0}∪{－1}C．{x|x－2}∪{x|x0}D．{x|x－2}∪{x|x0}∪{－1}答案D解析此题为不等式在对数函数中的应用．因为lg|x＋1|≤0，即lg|x＋1|≤lg1.又因为lgx为增函数，所以|x＋1|≤1.所以－1≤x＋1≤1且|x＋1|≠0.所以－2≤x－1或－1x≤0.所以∁RM＝{x|x2}∪{x|x0}∪{－1}．3．设x0，y0，则下列不等式中等号不成立的是()A．x＋y＋2xy≥4B．(x＋y)(1x＋1y)≥4C．(x＋1x)(y＋1y)≥4D.x2＋3x2＋2≥2答案D解析由基本不等式分析，D不具备等号成立的条件．4．若不等式x2－ax＋1≤0和ax2＋x－10均不成立，则()A．a－14或a≥2B．－14≤a2C．－2≤a－14D．－2a≤－14答案D2解析由Δ1＝a2－40，a0，Δ2＝1＋4a≤0，得－2a2，a0，a≤－14.即－2a≤－14.故选D.5．如果集合P＝{x||x|2}，集合T＝{x|3x1}，那么集合P∩T等于()A．{x|x0}B．{x|x2}C．{x|x－2或x0}D．{x|x－2或x2}答案B解析P的解集为{x|x2或x－2}，T的解集为{x|x0}．6．在区间[12，2]上，函数f(x)＝x2＋bx＋c(b、c∈R)与g(x)＝x2＋x＋1x在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在区间[12，2]上的最大值是()A.134B．4C．8D.54答案B解析g(x)＝x2＋x＋1x＝x＋1＋1x，x∈[12，2]．当x＝1时，g(x)取得最小值3，所以f(x)＝(x－1)2＋3.所以当x＝2时，f(x)min＝4.故选B.7．对于定义域是R的任何奇函数f(x)都有()A．f(x)－f(－x)0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)f(－x)≤0D．f(x)f(－x)0答案C解析利用f(0)＝0及奇函数的定义．8．以下四个命题中，正确的是()A．原点与点(2,3)在直线2x＋y－3＝0同侧B．点(3,2)与点(2,3)在直线x－y＝0同侧C．原点与点(2,1)在直线y－3x＋12＝0异侧D．原点与点(1,4)在直线y－3x＋12＝0异侧3答案C解析把点坐标代入直线方程检验符号即可．9．不等式|ax－1x|a(a是正实数)的解集是()A．{x|x1a}B．{x|x12a}C．{x|12ax1a}D．{x|x0或0x12a}答案D解析由|ax－1x|a，得ax－1xa或ax－1x－a.∴－1x0或2ax－1x0，∴x0或0x12a.10．如图，不等式y≥|x|表示的平面区域是()答案A解析不等式等价于x≥0，y≥x或x0，y≥－x.11．(2013·重庆)关于x的不等式x2－2ax－8a20(a0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()4A.52B.72C.154D.152答案A解析∵由x2－ax－8a20(a0)，得(x－4a)(x＋2a)0，即－2ax4a.∴x1＝－2a，x2＝4a.∵x2－x1＝4a－(－2a)＝6a＝15，∴a＝156＝52.故选A项．12．(2013·北京)设关于x，y的不等式组2x－y＋10，x＋m0，y－m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求m的取值范围是()A．(－∞，43)B．(－∞，13)C．(－∞，－23)D．(－∞，－53)答案C解析图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y＝12x－1上的点，只需要可行域的边界点(－m，m)在y＝12x－1下方，也就是m－12m－1，即m－23.故选C项．5二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．若x0且x≠1，p、q∈N＋，则1＋xp＋q与xp＋xq的大小关系为________．答案1＋xp＋qxp＋xq解析1＋xp＋q－xp－xq＝1－xp＋xq(xp－1)＝(xp－1)(xq－1)，∵当x1时，xp1，xq1；当0x1时，xp1，xq1，∴1＋xp＋qxp＋xq.14．设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图像上运动，则9x＋3y的最小值为________．答案18解析因为P(x，y)在y＝4－2x的图像上运动，所以2x＋y＝4,9x＋3y≥232x·3y＝232x＋y＝234＝18.当且仅当2x＝y即x＝1，y＝2时取等号．所以当x＝1，y＝2时，9x＋3y取得最小值18.15．设0x2，函数f(x)＝3x－3x的最大值是________．答案4解析因为0x2，所以03x6，所以8－3x20.所以f(x)＝3x－3x＝3x·8－3x≤3x＋8－3x2＝82＝4.当且仅当3x＝8－3x即x＝43时，取等号．所以当x＝43时，f(x)＝3x－3x的最大值为4.16．约束条件0≤x≤1，0≤y≤1，y－x≤12表示的平面区域的面积为________．答案78解析6如图，画出可行域，其面积S＝1－12×12×12＝78.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知全集U＝R，A＝{x|－34x2＋x＋10}，B＝{x|3x2－4x＋10}，求∁U(A∩B)．解析A＝{x|－34x2＋x＋10}＝{x|3x2－4x－40}＝{x|－23x2}，B＝{x|3x2－4x＋10}＝{x|x13或x1}，A∩B＝{x|－23x13或1x2}．∁U(A∩B)＝{x|x≤－23或13≤x≤1或x≥2}．18．(12分)当x32时，求函数y＝x＋82x－3的最值，并求出此时x的值．解析因为x32，所以2x－30.y＝x＋82x－3＝12(2x－3)＋82x－3＋32.因为3－2x2＋83－2x≥23－2x2×83－2x＝4，所以2x－32＋82x－3≤－4.所以y＝x＋82x－3≤－4＋32＝－52.7当且仅当3－2x2＝83－2x，即x＝－12或x＝72时，取等号．因为x32，所以x＝－12时等号成立．所以当x＝－12时，函数y＝x＋82x－3有最大值－52.原函数无最小值．19．(12分)设函数f(x)＝|lgx|，若0ab且f(a)f(b)，求证：ab1.证明由已知，得f(x)＝|lgx|＝lgxx，－lgxx，因为0ab，f(a)f(b)，所以a，b不能同时在区间[1，＋∞)上．又由于0ab，故必有a∈(0,1)；若b∈(0,1)，显然ab1；若b∈[1，＋∞)，由f(a)－f(b)0，有－lga－lgb0.故lg(ab)0.所以ab1.20．(12分)不等式kx2－2x＋6k0(k≠0)．(1)若不等式的解集为{x|x－3或x－2}，求k的值；(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．解析(1)∵不等式的解为x－3或x－2，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k0.所以－－＝6，－＋－＝2k.所以k＝－25.(2)∵不等式的解集为R，∴k0，Δ＝4－4k×6k0.即k0，k66或k－66，所以k－66.21．(12分)某人上午7时乘摩托艇以匀速vnmile/h(4nmile/h≤v≤20nmile/h)从A港出发到距50nmile/h的B港，然后乘汽车以匀速wkm/h(30km/h≤w≤100km/h)自B港向距30km的C市驶去，应该在同一天下午4点至9点到达C市．设汽车、摩托艇所需要的时间分别是xh和yh，所需要的经费P＝100＋3·(5－x)＋2·(8－y)元，求v、w分别是多少时走得最经济？此时需要花费多少元？8解析由题意，得v＝50y，w＝300x.∵4≤v≤20,30≤w≤100.∴3≤x≤10，52≤y≤252.∴x、y的约束条件为9≤x＋y≤14，3≤x≤10，52≤y≤252.目标函数为P＝131－3x－2y，可行域如图考虑P＝131－3x－2y，将它变形为y＝－32x－12P＋1312，这是斜率为－32、随P变化的一组平行直线，－12P＋1312是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，P的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数P＝131－3x－2y取得最小值．由图可见，当直线P＝131－3x－2y经过可行域上的点A时，截距最大，即P最小．解方程组x＝10，x＋y＝14，得A的坐标为(10,4)．即当v＝12.5，w＝30时走的最经济，此时需要花费93元．22．(12分)某工厂有旧墙一面长14m，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房．工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为a4元；③拆去1m旧墙，用所得的材料建1m新墙的费用为a2元．经过讨论有两种方案：(1)利用旧9墙的一段xm(x14)为矩形厂房的一面边长；(2)矩形厂房的一面边长x≥14，问如何利用旧墙即x为多少时建墙费用最省？(1)、(2)两种方案哪种方案最好？解析设利用旧墙的一面矩形边长为xm，则矩形的另一面边长为126x.(1)利用旧墙的一段xm(x14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x·a4，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)·a2，其余的建新墙的费用为(2x＋2×126x－14)·a.故总费用为y＝a4x＋－xa2＋a(2x＋252x－14)＝a(7x4＋252x－7)＝7a(x4＋36x－1)(0x14)．∵x4＋36x≥2x4·36x＝6，∴y＝7a(x4＋36x－1)≥7a(6－1)＝35a.当且仅当x4＝36x即x＝12时，y取最小值35a.(2)若利用旧墙的一面矩形边长为x(x≥14)，则修旧墙的费用为14·a4＝7a2，建新墙的费用为(2x＋252x－14)·a.故总费用为y＝72a＋a(2x＋252x－14)＝2a(x＋126x)－212a(x≥14)．设14≤x1x2，则(x1＋126x1)－(x2＋126x2)＝(x1－x2)(1－126x1x2)0，(∵x1x2196)∴t＝x＋126x在[14，＋∞)上为增函数．∴y＝2a(x＋126x)－212a≥35.5a.所以，采用第(1)种方案，利用旧墙12m为矩形的一面边长，使建墙费用最省，费用最小值为35a.