2014北京朝阳高三二模数学(理)试卷与解析(易题库教研团队出品)

高考高频考点尽在易题库北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类)2014．5第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合|230AxxR≥，集合2|320BxxxR，则AB（）．A．3|2xx≥B．3|22xx≤C．|12xxD．3|22xx解析：23|230=|x,|320|1x22AxxxBxxxxRRRR≥≥答案：B2．如果0ab，那么下列不等式一定成立的是（）．A．33loglogabB．11()()44abC．11abD．22ab解析：A以3为底，函数单调递增，错误；B单调递减，错误；C正确。答案：C3．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（）．A．1,2,3,4,5B．1,2,3,4,5,6C．2,3,4,5D．2,3,4,5,6解析：先验证a=1，不成立；a=6时，不成立；所以答案C.答案：C4．已知函数π()sin()(0,0,)2fxAxA的部分图像如右图所示，则（）．A．π6B．π6C．π3D．π3高考高频考点尽在易题库解析：,243124TT，把(,0)3带入解析式，2sin(2)0,333kkZ,答案D。答案：D5．已知命题:p复数1iiz在复平面内所对应的点位于第四象限；命题:q0x，cosxx，则下列命题中为真命题的是（）．A．()()pqB．()pqC．()pqD．pq解析：1i(1)1iiiziii，所以对应的点在第四象限成立，:q0x，cosxx数形结合成立，p，q都为真命题，所以答案D。答案：D6．若双曲线2221(0)yxbb的一条渐近线与圆22(2)1xy至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）．A．(1,2]B．[2,)C．(1,3]D．[3,)解析：双曲线的一条渐近方程是y=bx；当直线与圆相切时，3b，所以3,2cbea，双曲线的离心率大于1，所以答案A.答案：A7．某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．煤（吨）电（千度）纯利润（万元）1箱甲产品3121箱乙产品111若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（）．A．60万元B．80万元C．90万元D．100万元解析：设李锐函数为Z，设甲产品X,乙产品Y，根据题意有312060200xyxyZxyxy所以高考高频考点尽在易题库(P)MNDCBA答案C。答案：C8．如图放置的边长为1的正PMN△沿边长为3的正方形ABCD的各边内侧逆时针方向滚动．当PMN△沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P的轨迹长度是（）．A．8π3B．16π3C．4πD．5π解析：P点在AD边上运动时，点P相当与以一为半径的圆，当点P从A到D点旋转的角为43，所以P回到初始位置时，点P的轨迹长度是16π3，答案为B。答案：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知平面向量a，b满足1a，2b，a与b的夹角为60，则2ab__________．解析：22224444412223abaabbab答案：2310．5(12)x的展开式中3x项的系数为___________．（用数字表示）解析：展开式中3x项的系数335(2)80Cx答案：-8011．如图，AB为圆O的直径，2AB，过圆O上一点M作圆O的切线，交AB的延长线于点C，过点M作MDAB于点D，若D是OB中点．则•ACBC___________．解析：060MOD3CM23CMACBC答案：3．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是________；表面积是_________．解析：该集合体相当于两个正四棱锥品在一起，所以18242233V,四棱锥的斜高3，所以变面积12342832S答案：823；8313．已知数列na的前n项和为nS，且满足24nnSa*()nN，则na=_________；数列2logna的前n项和为_____________．解析：111112422(1),2,1;424nnnnnnnnnSaaaanaanaSa，所以数列数以2为公比的等比数列12nna，(21)2212223221232(3)logloglogloglog()log(2)2nnnnnnnSaaaaaaaa答案：BODMCBA．若存在正实数M，对于任意(1,)x，都有()≤fxM，则称函数()fx在(1,)+上是有界函数．下列函数①1()1fxx；②2()1xfxx；③ln()xfxx；④()sinfxxx，其中“在(1,)+上是有界函数”的序号为__________．解析：①是1yx向右平移一个单位，所以函数在(1,)+上不是有界函数；2111()11212xfxxxxxx，所以()fx在(1,)+上是有界函数；'2ln1ln1(),(),(0,),()(,),xxfxfxxefxxefxxe单调递增；（x)单调递减；x=e,函数有最大值，f(e)=所以()fx在(1,)+上是有界函数；''()sincos,()0,tanfxxxxfxxx，函数不是一致单调，,()xfx，所以()fx在(1,)+上不是有界函数。答案：B三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2π3A，3b，ABC△的面积为1534．（I）求边a的边长；（II）求cos2B的值．16.（本题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的数据，按时间段75,80，80,85，85,90，90,95，95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．高考高频考点尽在易题库（I）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（II）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望Eξ．（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，,EF分别为PA,BD中点，2PAPDAD．（I）求证：//EF平面PBC;（II）求二面角EDFA的余弦值；（III）在棱PC上是否存在一点G,使GF平面EDF?若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知函数21()e1,xfxaxaR．（I）若曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线与直线e10xy垂直，求a的值；（II）求函数()fx的单调区间；（III）设32ea，当[0,1]x时，都有()1fx…成立，求实数a的取值范围．19.（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上，离心率为12，右焦点到到右顶点的距离为1．（I）求椭圆C的标准方程；（II）是否存在与椭圆C交于A,B两点的直线l：()ykxmkR，使得22OAOBOAOBuuruuuruuruuur成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）已知12,xx是函数2()fxxmxt的两个零点，其中常数,mtZ，设120nnrrnrTxx（*nN）．（I）用,mt表示1T，2T;（II）求证：543TmTtT;（III）求证：对任意的*nN，nTZ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2014．5一、选择题（满分40分）题号12345678答案BCCDDACB高考高频考点尽在易题库二、填空题（满分30分）题号91011121314答案238038238312n(3)2nn②③三、解答题（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin2ABCSbcA得，11533sin234ABCSc．所以5c．由2222cosabcbcA得，22235235cos493a，所以7a．……………7分（Ⅱ）由得，，所以33sin14B．所以271cos212sin98BB．……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人），参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量的可能取值为0,1,2,3．sinsinabAB73sin32B90,952000.06056095,1002000.020520(0)()()55125PC；11232354(1)()()55125PC；22132336(2)()()55125PC；3303238(3)()()55125PC．随机变量的分布列为0123P2712554125361258125因为~2(3)5B，，所以26355E．……………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC．因为底面ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分．又因为F是BD中点，所以F是AC中点．在△PAC中，E是PA中点，F是AC中点，所以EF∥PC．又因为EF平面PBC，PC平面PBC，所以EF∥平面PBC．……………4分（Ⅱ）取AD中点O．在△PAD中，因为PAPD，所以POAD．因为面PAD底面ABCD，且面PAD面=ABCDAD，所以PO面ABCD．因为OF平面ABCD所以POOF．又因为F是AC中点，OxyzFABCDPEEPDCBAF．如图，以O为原点，,,OAOFOP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系．因为2PAPDAD，所以3OP，则(0,0,0)O，(1,0,0)A，(1,2,0)B，(1,2,0)C，(1,0,0)D，(0,0,3)P，13(,0,)22E，(0,1,0)F．于是(0,2,0)AB，33(,0,)22DE，(1,1,0)DF．因为OP面ABCD，所以