2015年上海市闸北区高考数学(文)一模试题

1闸北区2014学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷考生注意：1.本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3.本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．若复数i21i2a（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a．2．若)(xf为奇函数，当0x时，)2(log)(2xxf，则)2(f．3．设动点P在函数xy2图像上，若O为坐标原点，则PO的最小值为．4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位数有个．5．设Nn，圆122141:()(1)41nnnCxyn的面积为nS，则nnSlim．6．在RtABC中，3ABAC，,MN是斜边BC上的两个三等分点，则AMAN的值为．7．设函数)sin(2)(xxf，若存在R0x，使得对任意的Rx，都有)()(0xfxf成立．则关于m的不等式0)(02xfmm的解为．8．若不等式21xxa在区间33，上恒成立，则实数a的取值范围为．9．关于曲线14:42yxC，给出下列四个结论：①曲线C是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③关于直线yx轴对称；④所围成封闭图形面积小于8．则其中正确结论的序号是．（注：把你认为正确命题的序号都填上）二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10．“2a”是“关于yx,的二元一次方程组1)1(32yaxyax有唯一解”的【】A．必要不充分条件；B．充分不必要条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件．211．已知等比数列}{na前n项和为nS，则下列一定成立的是【】A．若30a，则20150a；B．若40a，则20140a；C．若30a，则20150S；D．若40a，则20140S．12．对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素eA，使得对任意Aa，都有eaaea，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素．例如：RA，运算“”为普通乘法；存在R1，使得对任意Ra，都有11aaa，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“”：①RA，运算“”为普通减法；②A{mnmnAA表示mn阶矩阵，N,Nnm}，运算“”为矩阵加法；③AXXM（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集．其中对运算“”有单位元素的集合序号为【】A．①②；B．①③；C．①②③；D．②③．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）请仔细阅读以下材料：已知()fx是定义在(0,)上的单调递增函数．求证：命题“设R,ba，若1ab，则)1()1()()(bfafbfaf”是真命题．证明因为R,ba，由1ab得01ba．又因为()fx是定义在(0,)上的单调递增函数，于是有)1()(bfaf．①同理有)1()(afbf．②由①+②得)1()1()()(bfafbfaf．故，命题“设R,ba，若1ab，则)1()1()()(bfafbfaf”是真命题．请针对以上阅读材料中的()fx，解答以下问题：（1）试用命题的等价性证明：“设R,ba，若11()()()()fafbffab，则：1ab”是真命题；（2）解关于x的不等式11()(2)()(2)xxxxfaffaf（其中10,2aa）．314．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）已知12,FF分别是椭圆2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，椭圆C过点(3,1)且与抛物线28yx有一个公共的焦点．（1）求椭圆C方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点2F且斜率为1与椭圆C交于BA,两点，求弦AB的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))yAxA，[4,0]x的图像，图像的最高点为(1,2)B．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CDEF∥．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且POE，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值．16．（本题满分20分，第（1）小题5分，第（2）小题7分，第（3）小题8分）设数列na满足：①11a；②所有项Nna；③1211nnaaaa．设集合N,|mmanAnm，将集合mA中的元素的最大值记为mb．换句话说，mb是数列na中满足不等式man的所有项的项数的最大值．我们称数列nb为数列na的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）请写出数列1,4,7的伴随数列；（2）设13nna，求数列na的伴随数列nb的前20之和；（3）若数列na的前n项和2nSnc（其中c常数），求数列na的伴随数列mb的前m项和mT．Cy2-1MEQPOxDBGF(-4,0)4文科答案一．填空题：4.1；2.2；3.2；14.4；4.5；4.6；7.(,2)(1,)；,7.8；9.②④．二．选择题：10.11.12.ACD三．解答题：13.解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设Rba,，若1ab，则：11()()()()fafbffab.……4分下面证明原命题的逆否命题为真命题：因为Rba,，由1ab得：10ab，…………………………1分又()fx是定义在(0,)上的单调递增函数所以1()()fafb…………（1）…………………………1分同理有：1()()fbfa…………（2）…………………………1分由（1）+（2）得：11()()()()fafbffab…………………………1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题.…………………………1分（2）由（1）的结论有：121xxa，即：(2)xaa………………………3分①当21a时，即12a时，不等式的解集为：2(log,)aa……………3分②当021a时，即102a时，不等式的解集为：2(,log)aa………3分14.解（1）由题意得1(2,0)F2c…………………2分又223114aa，得，428120aa，解得26a或22a（舍去），…………………2分则22b，…………1分故椭圆方程为22162xy．…………………1分（2）直线l的方程为2yx．…………………1分联立方程组222162yxxy消去y并整理得22630xx．…………………3分设11(,)Axy，22(,)Bxy．故123xx，1232xx．…………………1分则]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB6…………2分5（3）设AB的中点为00(,)Mxy．可得032x，…………………1分012y．…………………1分线段AB的中垂线1l斜率为1，所以1:1lyx设(,1)Ptt…………………1分所以22333()()2222MPttt．…………………1分当△ABP为正三角形时，ABMP23，可得332622t，解得0t或3．…………………2分即(0,1)P，或(3,2)P．…………………1分15.解：（1）由已知条件，得2,A……………………………1分又∵23,12,46TT……………………………2分又∵当1x时，有22sin()263y……2分∴曲线段FBC的解析式为22sin(),[4,0]63yxx．………1分（2）由22sin()163yx得6(1)4()kxkkZ…………2分又[4,0]0,3(3,1)xkxG……………………2分10OG……………………1分∴景观路GO长为10千米……………1分(3)如图，3,1,2,6OCCDODCOD…1分作xPP1轴于1P点，在1OPPRt中，sin2sin1OPPP…………………1分在OMP中，)60sin(120sin00OMOP…………………1分∴sin332cos2)60sin(34120sin)60sin(000OPOM………1分sin2)sin332cos2(1PPOMSOMPQ平行四边形…………………1分2sin334cossin43322cos3322sin2CP1y2-1MEQPOxDBGF(-4,0)6332)62sin(334)3,0(…………………2分当262时，即6时：平行四边形面积最大值为332…………………1分16.解：（1）数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，（后面加3算对）………………5分（2）由13nnam，得*31log()nmmN∴当*12,mmN时，121bb…………………………2分当*38,mmN时，3482bbb…………………2分当Nmm,209时，320289bbb……………2分∴5012362212021bbb…………1分（3）∵1111aSc∴0c…………………1分当2n时，121nnnaSSn∴*21()nannN…………………1分由21nanm得：*1()2mnmN因为使得nam成立的n的最大值为mb，所以*12342121,2,,()ttbbbbbbttN…………………1分当*21()mttN时：221(1)12(1)(1)24mtTtttm…………………2分当*2()mttN时：2112(2)24mtTtttmm…………………2分所以2**(1)(21,4(2)(2,)4mmmttNTmmmttN…………………1分