高一数学必修一培优第一讲-抽象函数(表达式)

第一讲抽象函数抽象函数：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。以下对其的题型，进行分类，希望同学们能够用来复习及收藏！如有学习过程中，不明白的，可加微信报相应的课程，老师将对孩子进行深入的学习数学和方法！微信号：maybeforwhat。学习上的交流可以扫一扫1、求表达式1）.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出()fx，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知()211xfxx,求()fx.2）.凑合法：在已知(())()fgxhx的条件下，把()hx并凑成以()gu表示的代数式，再利用代换即可求()fx.此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知3311()fxxxx，求()fx3）.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知()fx二次实函数，且2(1)(1)fxfxx+2x+4,求()fx.4）.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y=()fx为奇函数,当x0时,()lg(1)fxx,求()fx例5．一已知()fx为偶函数，()gx为奇函数，且有()fx+1()1gxx，求()fx,()gx.5）.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()fx的表达式例6：设()fx的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()fxfxfyxy,及(1)f=1,求()fx参考答案：例1：解：设1xux,则1uxu∴2()2111uufuuu∴2()1xfxx例2：解：∵22211111()()(1)()(()3)fxxxxxxxxxx又∵11||||1||xxxx∴23()(3)3fxxxxx，(|x|≥1)例3．解:设()fx=2axbxc，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)fxfxaxbxcaxbxc=22222()24axbxacxx比较系数得2()41321,1,2222acaabcb∴213()22fxxx例4.解:∵()fx为奇函数，∴()fx的定义域关于原点对称，故先求x0时的表达式。∵-x0,∴()lg(1)lg(1)fxxx,∵()fx为奇函数，∴lg(1)()()xfxfx∴当x0时()lg(1)fxx∴lg(1),0()lg(1),0xxfxxx例5．解：∵()fx为偶函数，()gx为奇函数，∴()()fxfx,()()gxgx,不妨用-x代换()fx+()gx=11x………①中的x,∴1()()1fxgxx即()fx－1()1gxx……②显见①+②即可消去()gx,求出函数21()1fxx再代入①求出2()1xgxx例6：解：∵()fx的定义域为N，取y=1,则有(1)()1fxfxx∵(1)f=1,∴(2)f=(1)f+2,(3)(2)3ff……()(1)fnfnn以上各式相加，有()fn=1+2+3+……+n=(1)2nn∴1()(1),2fxxxxN