2017数学高考分类·理科(2017高考真题+模拟新题)B单元-函数与导数

全品高考网邮箱：[e-mail]单元函数与导数B1函数及其表示1．A1、B1、E3[2017·山东卷]设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1，2)B．(1，2]C．(－2，1)D．[－2，1)1．D[解析]由4－x2≥0得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}；由1－x0得x1，所以B＝{x|x1}．故A∩B＝{x|－2≤x1}，故选D.B2反函数B3函数的单调性与最值6．B3[2017·天津卷]已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．cbaC．bacD．bca6．C[解析]由函数f(x)为奇函数且在R上单调递增，可知当x0时，f(x)0，∴g(x)＝xf(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，∴c＝g(3)a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)g(2)，b＝g(20.8)g(2)，∴bac.5．B3、B4[2017·全国卷Ⅰ]函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]5．D[解析]因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝1，不等式－1≤f(x－2)≤1，即f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，因为f(x)单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，故x的取值范围为[1，3]．5．B3、B4[2017·北京卷]已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)()A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数5．A[解析]因为f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－3x－13x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．又因为y＝3x为增函数，y＝13x为减函数，所以f(x)＝3x－13x为增函数．故选A.5．B3、B5[2017·浙江卷]若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关全品高考网邮箱：[e-mail]5．B[解析]由题意，得f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.因此函数f(x)的图像的对称轴为直线x＝－a2.当－a2≤0，即a≥0时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，所以函数f(x)的最大值M＝f(1)＝1＋a＋b，最小值m＝f(0)＝b，所以M－m＝1＋a；当－a2≥1，即a≤－2时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以函数f(x)的最大值M＝f(0)＝b，最小值m＝f(1)＝1＋a＋b，所以M－m＝－1－a；当0－a2≤12，即－1≤a0时，函数f(x)在[0，1]上的最小值m＝f－a2＝b－a24，最大值M＝f(1)＝1＋a＋b，所以M－m＝1＋a＋a24；当12－a21，即－2a－1时，函数f(x)在[0，1]上的最小值m＝f－a2＝b－a24，最大值M＝f(0)＝b，所以M－m＝a24.结合各选项，可得B正确，A，C，D错误．因此选B.15．B3、B11、B12、B14[2017·山东卷]若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f(x)＝2－x②f(x)＝3－x③f(x)＝x3④f(x)＝x2＋215．①④[解析]令g(x)＝exf(x)．对于①，f(x)的定义域为R，g(x)＝ex2－x＝e2x在R上单调递增，具有M性质；对于②，f(x)的定义域为R，g(x)＝ex3－x＝e3x在R上单调递减，不具有M性质；对于③，f(x)的定义域为R，g(x)＝exx3，g′(x)＝exx3＋3x2ex＝ex(x3＋3x2)0在R上不恒成立，所以g(x)在R上不单调递增，不具有M性质；对于④，f(x)的定义域为R，g(x)＝ex(x2＋2)，g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递增，具有M性质．故填①④.11．B3、B4、B11[2017·江苏卷]已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．11.－1，12[解析]因为f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)，f(0)＝0，所以f(x)是奇函数，则f(a－1)＋f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤f(1－a)．又f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2ex·e－x＝3x2≥0，所以f(x)在R上单调递增，则2a2≤1－a，即－1≤a≤12.17．B3、B14[2017·浙江卷]已知a∈R，函数f(x)＝x＋4x－a＋a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是________.17.－∞，92[解析]方法一：令t＝x＋4x，x∈[1，4]，则t∈[4，5]，f(x)＝g(t)＝|t－a|＋a.当a≤92时，f(x)max＝g(5)＝|5－a|＋a＝5恒成立；当a92时，f(x)max＝g(4)＝|4－a|＋a＝a全品高考网邮箱：[e-mail]－4＋a＝5⇒a＝92(舍去)．综上，a≤92.方法二：x＋4x－a表示曲线y＝x＋4x与直线y＝a的纵向距离．画出y＝x＋4x在区间[1，4]上的图像，如图所示，其中点A(2，4)，B(1，5)，C(4，5)，画出直线y＝a.按a92和a≤92进行分类讨论：当a92时，f(x)＝x＋4x－a＋a≤(a－4)＋a＝2a－4＝5，解得a＝92，所以a无解；当a≤92时，f(x)＝x＋4x－a＋a≤(5－a)＋a＝5恒成立．综上所述，a的取值范围是－∞，92.21．B3、B12[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2f(x0)2－2.21．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．设g(x)＝ax－a－lnx，则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，而g′(x)＝a－1x，g′(1)＝a－1，得a＝1.若a＝1，则g′(x)＝1－1x.当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.综上，a＝1.(2)证明：由(1)知f(x)＝x2－x－xlnx，f′(x)＝2x－2－lnx.设h(x)＝2x－2－lnx，则h′(x)＝2－1x.当x∈0，12时，h′(x)＜0；当x∈12，＋∞时，h′(x)＞0.所以h(x)在0，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增．又h(e－2)＞0，h12＜0，h(1)＝0，所以h(x)在0，12上有唯一零点x0，在[12，＋∞)上有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)＞0；当x∈(x0，1)时，h(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0.因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点．由f′(x0)＝0得lnx0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0)．由x0∈0，12得f(x0)＜14.全品高考网邮箱：[e-mail]因为x＝x0是f(x)在(0，1)上的最大值点，由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)＞f(e－1)＝e－2.所以e－2＜f(x0)＜2－2.B4函数的奇偶性与周期性5．B3、B4[2017·全国卷Ⅰ]函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]5．D[解析]因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝1，不等式－1≤f(x－2)≤1，即f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，因为f(x)单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，故x的取值范围为[1，3]．5．B3、B4[2017·北京卷]已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)()A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数5．A[解析]因为f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－3x－13x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．又因为y＝3x为增函数，y＝13x为减函数，所以f(x)＝3x－13x为增函数．故选A.11．B3、B4、B11[2017·江苏卷]已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．11.－1，12[解析]因为f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)，f(0)＝0，所以f(x)是奇函数，则f(a－1)＋f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤f(1－a)．又f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2ex·e－x＝3x2≥0，所以f(x)在R上单调递增，则2a2≤1－a，即－1≤a≤12.B5二次函数10．B5、B8、B9[2017·山东卷]已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图像与y＝x＋m的图像有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A．(0，1]∪[23，＋∞)B．(0，1]∪[3，＋∞)C．(0，2]∪[23，＋∞)D．(0，2]∪[3，＋∞)10．B[解析]应用排除法．当m＝2时，画出y＝(2x－1)2与y＝x＋2的图像，由图可知，两函数的图像在[0，1]上无交点，排除C，D；当m＝3时，画出y＝(3x－1)2与y＝x＋3的图像，由图可知，两函数的图像在[0，1]上恰有一个交点．故选B.5．B3、B5[2017·浙江卷]若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小全品高考网邮箱：[e-mail]值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关5．B[解析]由题意，得f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.因此函数f(x)的图像的对称轴为直线x＝－a2.当－a2≤0，即a≥0时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，所以函数f(x)的最大值M＝f(1)＝1＋a＋b，最小值m＝f(0)＝b，所以M－m＝1＋a；当－a2≥1，即a≤－2时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以函数f(x)的最大值M＝f