电子技术基础数字部分2

1第二章逻辑代数•2.1逻辑代数基本规则•2.2逻辑函数的化简•2.3卡诺图22.1逻辑代数基本规则3逻辑函数表达式的书写及基本运算法则•先做括号内的逻辑运算•对某变量取“非”，可以不加括号•例如：不必写成：•在表达式中，若即有“与”运算，又有“或”运算，则按先“与”后“或”的原则，省去括号•例如：可写成：•但则不能省括号DCBA,）（）（DCBA,）（）（DCBACDAB）（）（DCBA4逻辑代数的基本定律和恒等式基本定律——加A+0=AA+1=1A+A=A（重叠律）A+A=1（互补律）基本定律——乘A∙0=0A∙1=AA∙A=A（重叠律）A∙A=0（互补律）•结合律(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)•交换律A+B=B+AAB=BA•分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)基本定律——非A=A（还原律）5逻辑代数的基本定律和恒等式•反演律（摩根定律）A∙B∙C∙∙∙＝A+B+C+∙∙∙A+B+C+∙∙∙=A∙B∙C∙∙∙•吸收率A+AB=AA+AB=A+BA(A+B)=A(A+B)(A+C)=A+BC•其他常用恒等式AB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BCD=AB+AC（两乘积项相加时，若一项取反后是另一项的因子，则此因子多余，可消去）（若两个乘积项中分别包含了A、A两个因子，而这两项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项可消去）逻辑代数无移项规则等初等代数运算规则！6逻辑代数基本定律和恒等式的证明•真值表–例：摩根定律的证明ABABA+BBA·ABBA+00010111110101000+0=10+1=01+0=01+1=010000·0=10·1=11·0=11·1=011107•A+B+C=AB+C=ABC•ABC=（A+B）C=A+B+C•依次类推，可以证明摩根定律对于任意项都成立多项式摩根定律的证明8•用其他更基本的定律证明–吸收率：•A+AB=A(1+B)=A·1＝A•A+AB=(A+A)(A+B)——分配率A+BC=(A+B)(A+C)=A+B–恒等式：•AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC逻辑代数基本定律和恒等式的证明9逻辑代数的基本规则代入规则反演规则对偶规则10代入规则在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的某变量都用一个函数代替，则等式依然成立多变量摩根定律的证明：A+(B+C)=A·(B+C)=A·B·CA·B·C＝A+(B·C)=A+B+C11反演规则将逻辑函数L中的与换成或，或换成与；再将原变量变换为非变量；并将1换成0，0换成1；那么所得的逻辑函数式就是非函数L观察摩根定律A∙B∙C∙∙∙＝A+B+C+∙∙∙A+B+C+∙∙∙=A∙B∙C∙∙∙12反演规则•须注意两点：①保持原来的运算顺序，即仍需遵守原式“先括号、然后乘、最后加的运算顺序。②对于反变量以外的非号应保留不变，即不属于单个变量上的反号应保留不变。0DCBAL例：求L的非函数))((1))((DCBADCBAL13反演规则•例求L=A+BC+D+E的非函数LL=A（（B+C）（DE））14反演规则摩根定律=反演规则AB=AB的补=A+B15对偶规则•把L中的与换成或，或换成与，1换成0，0换成1，那么就得到L的对偶式L’•当某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立仍需注意保持原式中先与后或的顺序可通过证明对偶式相等来证明原式相等，因为有些情况下证明对偶式相等更容易例：A+AB=A+B对偶式：A(A+B)=AB例：A+BC=(A+B)(A+C)对偶式：A(B+C)=AB+AC16对偶规则•证明对偶规则–设F,G为两个逻辑函数，并有F=G–对等式F=G两边分别求反，我们有：•根据反演规则，在和中，原函数中的原变量已改为反变量，反变量改为了原变量；同时“与”换成了“或”，“或”换成了“与”，1换成了0，0换成了1。–利用代入规则：对，中的新变量再以它们的反变量代入（实际上恢复原F,G中的变量），得到F’，G’，并且F’=G’GFFGFG17对偶规则证明举例A+AB=A+BA+AB=A+BA+AB=A（AB）=A（A+B）（1）A+B=AB（2）ABBAA)(ABBAA)(182.2逻辑函数化简19逻辑函数的变换同或门电路：•L=AB+AB•L=A·AB+B·AB(=AB(A+B)=AB·AB=AB+AB)•L=AB+ABABABABA·ABB·LABLA⊕BABL20由以上例子可知，对于一个特定的逻辑问题，其真值表是唯一的，而逻辑表达式可以有多种形式，实现其功能的电路也是多种多样。若两个逻辑函数相等，F=G。则它们应有相同的真值表；反过来，若F和G的真值表相同，则必有F=G。在相等的意义下，逻辑表达式和实现电路可以是多种多样，但逻辑功能完全相同。21逻辑函数的变换•一个特定的逻辑问题实现的电路是多样的•可以通过函数表达式的变换•避免使用某种器件而改用其他器件–例：某实验室用两个灯显示三台设备的故障情况，当一台设备有故障时黄灯亮；当两台设备同时有故障时红灯亮；当三台设备同时有故障时黄、红两灯都亮。设设备有故障为逻辑1，无故障为逻辑0；灯亮为逻辑1，灯灭为逻辑0。设计该逻辑电路，限用下列器件：2个异或门、3个两输入与非门22逻辑函数的变换ABCCBACBACBAL1)()(CBBCACBCBA)()(CBACBA)(CBAABCCABCBABCAL2BCCBCBA)(BCCBA)(BCCBA)(74867400L1L2ABCL1=黄灯L2=红灯23逻辑函数的代数化简法•逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换•逻辑表达式越简单，逻辑关系越明显，也就可以用越少的电子器件–例：•L=AB+B+AB——两个非门，两个与门，一个三收入或门=AB+B(1+A)=AB+B=A+B——一个或门•L=ABC+BC+ACD=AC+BC24逻辑函数的形式•与－或：L=AC+CD•与非－与非：L=AC·CD•或－与非：L=(A+C)·(C+D)•或非－或：L=A+C+C+D•或－与：L=(A+C)(C+D)•与非－与：L=A·C·C·D•或非－或非：L=(A+C)+(C+D)•与－或非：L=AC+CD25逻辑函数的形式•逻辑代数的基本公式和常用公式多以与-或形式给出，用以化简与-或函数比较方便•与-或表达式易于从真值表中直接写出•最简与-或表达式可以方便变换为与非-与非表达式•最简与-或表达式的特点：①与项（乘积项）的个数最少②每个乘积项中变量的个数最少•有了最简与-或表达式后，通过公式变换可得其他形式，但直接将与-或变为其他形式时，不一定是最简26逻辑函数的化简•代数法化简–运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简①并项法②吸收法③消去法（消因子法）④消项法⑤配项法•卡诺图化简27代数法化简逻辑函数——并项法•并项法：利用A+A=1•例：–L=ABC+ABC=AB(C+C)=AB–L=A(BC+BC)+A(BC+BC)=A(BC+BC+BC+BC)=A(B+B)=A28代数法化简逻辑函数－吸收法•吸收法：利用吸收率A+AB=A•例：–L=AB+ABCD(E+F)=AB–L=AB+ABC+ABD+AB(C+D)=AB–L=A+A·BC·(A+BC+D)+BC=(A+BC)+(A+BC)(A+BC+D)=A+BC29代数法化简逻辑函数－消去法•消去法：利用吸收率之A+AB=A+B•例：–L=AB+AC+BC=AB+(A+B)C=AB+ABC=AB+C–L=A+ACD+ABC=A+A(CD+BC)=A+CD+BC30•消项法：利用恒等式AB+AC+BC=AB+AC•例：–L=AC+AB+B+C=AC+AB+BC=AC+BC–L=ABCD+AE+BE+CDE=(AB)CD+(A+B)E+CDE=(AB)CD+ABE+(CD)E=ABCD+ABE代数法化简逻辑函数－消项法31代数法化简逻辑函数－配项法•配项法：利用A+A=A和A+A=1•例：L=AB+AB+BC+BC=AB+AB(C+C)+BC+(A+A)BC=AB+ABC+ABC+BC+ABC+ABC=AB+BC+ACL=ABC+ABC+ABC=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AB+BC32DCDBCBA代数法化简逻辑函数DEBADBCACBADCDBCBACL)(DEBACBADCDBCBAC)(DEBAADCDBCBACDBCBA33习题•2.1.3•2.1.4•2.1.7•2.1.8342.3卡诺图35最小项•在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，n变量均以原变量或反变量形式在m中出现一次，且仅出现一次，则称m为该组变量的最小项•n变量逻辑函数的最小项共2n个•最小项只有一种情况才能使得它的逻辑值为136最小项举例•由A,B,C三个变量组成的最小项有8个：••AB,AC,BC等虽然更简单，但却不是最小项，因为不是所有的项都出现了。同样ABCB，也不是最小项。CBCBCBBCCCABCA,A,A,A,BA,BA,CAB,373变量最小项真值表(P46表2.2.1)ACBABCABCABCABCABCABCABCABC000001010011100101110111001000000100000010000000000010000001000000000010000001000000000138最小项的性质•对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，该最小项的值都是0•不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同•对于变量的任意组取值，任意两个最小项的乘积为0•对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1•具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一个因子•若两个最小项仅有一个因子不同，则称此两个最小项具有相邻性：例：CBACABCBCBAACABCBA)(39最小项的编号•用mi表示最小项，i为最小项编号，用十进制表示•使最小项为1的变量取值所代表的十进制数即为编号i000001010011100101110111ABCABCABCABCABCABCABCABC最小项ACB变量取值表示符号mmmmmmmm0123456740逻辑函数的最小项表达式•任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式•利用A+A=1的基本运算关系，将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量的项例：)()(),,(BBCACCABCAABCBALCBABCACABABC=m7+m6+m3+m1ABCBAABABCBAABL)(CBABCAABCBABAABCBAABAB))((CBABCACABABCCBABCACCAB)(=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）41卡诺图•卡诺（MauriceKarnaugh）：Bell实验室通讯工程师“TheMapMethodforSynthesisofCombinationalLogicCircuits,”Trans.AIEE.ptI,72(9):593-599,November1953.卡诺图：将逻辑函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻排列，此方格图称为卡诺图。42二变量卡诺图•两侧标注的0和1表示使对应小格内最小项为1的变量取值，即最小项编号ABm0ABm1ABm2ABm3AB001143三变量卡诺图•为保证逻辑相邻的最小项在几何位置上相邻，不能按二进制数顺序排列，而是格雷码顺序44四变量卡诺图•其实用0表示反变量，1表示原变量，即可对应填入图中•如ABCD对应0000，即m0，ABCD对应11