2012高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 导数及应用（教师版）

导数及应用一、高考预测从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度．由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：以选择题或者填空题的方式考查导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．二、知识导学要点1：利用导数研究曲线的切线1．导数的几何意义：函数()yfx在0x处的导数()fx的几何意义是：曲线()yfx在点00(,())Pxfx处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()st对时间t的导数）。2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()yfx在点0xx的导数，即曲线()yfx在点00(,())Pxfx处切线的斜率；（2）在已知切点坐标00(,())Pxfx和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()yyfxxx。注：①当曲线()yfx在点00(,())Pxfx处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0xx；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。要点2：利用导数研究导数的单调性利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数)(xf；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数()yfx的定义域内解（或证明）不等式)(xf＞0或)(xf＜0。②若已知()yfx的单调性，则转化为不等式)(xf≥0或)(xf≤0在单调区间上恒成立问题求解。要点3：利用导数研究函数的极值与最值1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数)(xf取值为0的点称为函数)(xf的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数||xy在点0x处有极小值)0(f=0，可是这里的)0(f根本不存在，所以点0x不是)(xf的驻点.(1)可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数3)(xxf的导数23)(xxf，在点0x处有0)0(f，即点0x是3)(xxf的驻点，但从)(xf在,上为增函数可知，点0x不是)(xf的极值点.(2)求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.(3)在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用一般情况下选那个不带常数的。因为)()()(])([)(aFbFxFcxFdxxfbababa.3．利用定积分来求面积时，特别是位于x轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.三、易错点点睛命题角度1导数的概念与运算1．设0()sinfxx，10()()fxfx,21()()fxfx…,1()()nnfxfx,n∈N,则2012()fx()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx[考场错解]选C[专家把脉]由1()fx=0()fx(sin)cosxx,21()()fxfx(cos)sinxx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,3()(sin)cosfxxx，4()(cos)sinfxxx，故周期为4。[对症下药]选A2．已知函数()fx在x=1处的导数为3，()fx的解析式可能为（）A．()fx=(x-1)3+32(x-1)B．()fx=2x+1C．()fx=2(x-1)2D．()fx=-x+3[考场错解]选B∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3.[专家把脉]上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）’=2x+1.正确的是（2x+1）’=2,所以x=1时的导数是2，不是3。=2e-xcosx令f’(x)=0,x=nπ+2（n=1，2，3，…）从而xn=nπ+2。f(xn)=e-(nπ+2)(-1)n·)()(1nnxfxf=-e2.∴数列{f(xn)}是公比为q=-e-π的等比数列。[专家把脉]上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x）’=e-x是错误的，由复合函数的求导法则知（e-x）’=e-x(-x)’=-e-x才是正确的。[对诊下药]（1）证明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx.令f’(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nπ,(n为整数，从而xn=nπ(n=1,2,3,…)，f(xn)=(-1)ne-nπexfxfnn)()(1,所以数列|f(xn)|是公比q=-e-π的等比数列，且首项f(x1)=-e-π(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1)aSn=πq(q+2q2+…+nqn)=πq(qqn11-nqn)从而Sn=qq1(qqn11-nqn)2232221)1()1()1(2)1(qqqqnqqqnSSSnnn∵|q|=e-π1∴nlimqn=0,∴nlim2221)1()1(eeqqnSnSS专家会诊1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则)(')()(limafaxafxfn的运用。2．复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏3．求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。命题角度2导数几何意义的运用1.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________.[考场错解]填2由曲线y=x3在点（1，1）的切线斜率为1，∴切线方程为y-1==x-1,y=x.所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=21×2×2=2。[专家把脉]根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1显然是错误的。[对症下药]填38。∵()fx=3x2当x=1时f’(1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点（1，1）处的斜率为3。即切线方程为y-1=3(x-1)得y=3x-2.联立223xxy得交点（2，4）。又y=3x-2与x轴交于（32，0）。∴三条直线所围成的面积为S=21×4×（2-32）=38。2．设t≠0,点P（t,0）是函数()fx=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。（1）用t表示a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。[考场错解]（1）∵函数()fx=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点P(t,0).∴f(t)=g(t)t3+at=bt2+c.①又两函数的图像在点P处有相同的切线，∴f’(t)=g’(t)3t3+a=2bt.②由①得b=t,代入②得a=-t2.∴c=-t3.[专家把脉]上面解答中得b=t理由不充足，事实上只由①、②两式是不可用t表示a、b、c，其实错解在使用两函数有公共点P，只是利用f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论应是f(t)=0，即t3+at=0，因为t≠0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt,∵a=-t2,∴b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3(2)解法1y=()fx-g(x)=x3-t2x-tx2+t3y’=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当y’=(3x+t)(x-t)0时,函数y=f(d)-g(x)单调递减。由y’0,若t0,则tx-3t,若t0,则-3txt.则题意，函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，则（-1，3）（-3t,t）或（-1，3）（t，-3t）所以t≥3或-3t≥3。即t≤-9或t≥3。又当-9t3时，函数y=f(x0-g(x)在（-1，3）上单调递增，所以t的取值范围（-∞，-9）∪（3，+∞）解法2y=()fx-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y’=3x2-3tx-t2=(3x+t)(x-t).成为切点。因此过点A不在曲线，因此根求方程必须先求切点坐标。[对症下药]（1）f’(x)=3ax2+2bx-3，依题意f’(1)=f’(-1)=0即03230323baba解得a=1,b=0∴f(x)=x3+3x,f’(x)=3x2-3=0.解得x=±1.又∵x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)f’(x)0∴f(x)在(-∞,-1)与(1，+∞)上是增函数。若x∈[-1,1]时，f’(x)≤0,故f9x)在[-1，1]上是减函数。∴f(-1)=2是极大值。f(1)=-2是极小值。（2）解：曲线方程为y=()fx=x3-3x,点A（0，16）不在曲线上。设切点M（x0,y0）,则点M在曲线上，∴y0=x30-3x0.因f’(x0)=3x20-3.故切线的方程为y-y0=(3x20-3)(x-x0).∵点A（0，16）在曲线上，有16-（x20-0）=3(x20-1)(0-x0),化简得x30=-8，得x0=-2.专家会诊设函数y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为f’(x0)，则过此点的切线的斜率为f’(x0),在此点处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。命题角度3导数的应用1．（典型例题）已知函数()fx=-x3+3x2+9x+a.(1)求()fx的单调递减区间；（2）若()fx在区间[-2，2]上最大值为20，求它在该区间上的最小值。[考场错解]（1）()fx=-3x2+6x+9,令()fx0,解得x-1或x3,∴函数()fx的音调递减区间为（-∞，-1）（3，+∞）（2）令()fx=0,得x=-1或x=3当-2x-1时,()fx0;当-1x3时，()fx0;当x3时，()fx0.∴x=-1,是()fx的极不值点，x=3是极大值点。∴f(3)=