第37练 二项式定理的两类重点题型 ——求指定项与求和

第37练二项式定理的两类重点题型——求指定项与求和[题型分析·高考展望]二项式定理的应用，是理科高考的考点之一，考查频率较高，一般为选择题或填空题，题目难度不大，为低、中档题.主要考查两类题型，一是求展开式的指定项，二是求各项和或系数和，只要掌握两类题型的常规解法，该部分题目就能会做.体验高考1.(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解.(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.方法二利用组合知识求解.(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.2.(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A.－15x4B.15x4C.－20ix4D.20ix4答案A解析由题可知，含x4的项为C26x4i2＝－15x4.选A.3.(2015·安徽)x3＋1x7的展开式中x5的系数是________(用数字填写答案).答案35解析x3＋1x7的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck7(x3)7－k·1xk＝Ck7·x21－4k，令21－4k＝5，得k＝4，∴T5＝C47x5＝35x5.4.(2016·上海)在(3x－2x)n的二次项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________.答案112解析2n＝256，n＝8，通项Tk＋1＝Ck8·83kx·(－2x)k＝Ck8(－2)k·843kx.取k＝2，常数项为C28(－2)2＝112.高考必会题型题型一求展开项例1(1)(x2＋1x2－2)3展开式中的常数项为()A.－8B.－12C.－20D.20(2)(2016·山东)若ax2＋1x5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.答案(1)C(2)－2解析(1)二项式(x2＋1x2－2)3可化为(x－1x)6，展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck6·(－1)k·x6－2k.令x的幂指数6－2k＝0，解得k＝3，故展开式中的常数项为－C36＝－20，故选C.(2)∵Tk＋1＝Ck5(ax2)5－k1xk＝a5－kCk55102kx，∴10－52k＝5，解得k＝2，∴a3C25＝－80，解得a＝－2.点评应用通项公式要注意四点(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.变式训练1(1)(9x－13x)n(n∈N*)的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为()A.252B.－252C.84D.－84(2)(1－12x)(1＋2x)5展开式中x2的系数为________.答案(1)C(2)60解析(1)第3项的二项式系数为C2n＝n·n－12＝36，n＝9，其通项公式为Tk＋1＝(－13)kCk9(9x)9－k12kx＝(－13)k99－kCk9392kx，当9－32k＝0，k＝6时，为常数项，常数项为(－13)699－6C69＝84.(2)因为(1＋2x)5展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck5·2k·2kx，所以(1－12x)(1＋2x)5展开式中x2的系数为1×C45×24－12×C25×22＝60.题型二赋值法求系数之和例2(1)对任意的实数x，有(2x－3)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6等于()A.－12B.－6C.6D.12(2)若(2x－1)2013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2013x2013(x∈R)，则12＋a222a1＋a323a1＋…＋a201322013a1等于()A.－12013B.12013C.－14026D.14026答案(1)A(2)D解析(1)由(2x－3)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，两侧求导，得a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＝12(2x－3)5，令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝12(2×1－3)5＝－12，故选A.(2)因为(2x－1)2013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2013x2013(x∈R)，令x＝0，则a0＝－1，a1＝2C20122013(－1)2012＝2C20122013；令x＝12，则a0＋a12＋a222＋…＋a201322013＝0，所以12＋a222a1＋a323a1＋…＋a201322013a1＝1a1(12a1＋a222＋a323＋…＋a201322013)＝1a1(a0＋12a1＋a222＋a323＋…＋a201322013)－a0a1＝12C20122013(2×12－1)2013＋12C20122013＝14026.点评(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.变式训练2(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那么(x－1x)n的展开式中的常数项为()A.－15B.15C.20D.－20(2)若(1－5x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，那么|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值是()A.1B.49C.59D.69答案(1)D(2)D解析(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝2×2n－12－1＝2n＋1－2＝126⇒2n＋1＝128⇒2n＋1＝27⇒n＝6，又Tk＋1＝Ck6(x)6－k(－1x)k＝Ck6(－1)kx3－k，所以由3－k＝0得k＝3，则常数项为－C36＝－20.(2)(1－5x)9展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck9(－5x)k＝(－5)kCk9xk，所以当x的指数为奇数时，其系数为负，所以在(1－5x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9中令x＝－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝69，故选D.高考题型精练1.若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为()A.1B.－1C.0D.2答案A解析令x＝1，得(2＋3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，又令x＝－1，得(2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4，所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(2＋3)4(2－3)4＝14＝1.2.设n∈N*，则5C1n＋52C2n＋53C3n＋…＋5nCnn除以7的余数为()A.0或5B.1或3C.4或6D.0或2答案A解析5C1n＋52C2n＋53C3n＋…＋5nCnn＝C0n＋5C1n＋52C2n＋53C3n＋…＋5nCnn－C0n＝(1＋5)n－1＝(7－1)n－1＝7M＋(－1)n－1，M∈Z，当n为奇数时，余数为5，当n为偶数时，余数为0.3.设k＝0π(sinx－cosx)dx，若(1－kx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8等于()A.－1B.0C.1D.256答案B解析k＝0π(sinx－cosx)dx＝0πsinxdx－0πcosxdx＝－cosxπ0－sinxπ0＝2，所以(1－kx)8＝(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1－2)8＝1，令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝(a0＋a1＋a2＋…＋a8)－a0＝1－1＝0，故选B.4.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于()A.5B.6C.7D.8答案B解析(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为Cm2m，∴a＝Cm2m.同理，b＝Cm＋12m＋1.∵13a＝7b，∴13·Cm2m＝7·Cm＋12m＋1，∴13·2m！m！m！＝7·2m＋1！m＋1！m！，∴m＝6.5.(3y＋x)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象大致为()答案D解析由题意得，展开式的第三项为T3＝C25(3y)3(x)2＝10xy，所以10xy＝10，所以y＝1x，且x0，故选D.6.设a∈Z，且0≤a13，若512016＋a能被13整除，则a的值为()A.0B.1C.11D.12答案D解析512016＋a＝(52－1)2016＋a＝C02016×522016－C12016×522015＋…＋C20152016×52×(－1)2015＋C20162016×(－1)2016＋a.因为52能被13整除，所以只需C20162016×(－1)2016＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，因为0≤a13，所以a＝12.7.设f(x)是x2＋12x6展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间22，2上恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－∞，5)B.(－∞，5]C.(5，＋∞)D.[5，＋∞)答案D解析由于Tk＋1＝Ck612kx12－3k，故展开式中间的一项为T3＋1＝C36·123·x3＝52x3，f(x)≤mx⇔52x3≤mx在22，2上恒成立，即m≥52x2，又52x2≤5，故实数m的取值范围是m≥5.8.(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为________.答案－210解析(x2－x＋1)10＝[1＋(x2－x)]10的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck10(x2－x)k，对于(x2－x)k通项公式为Tm＋1＝Cmkx2k－2m(－x)m＝(－1)mCmkx2k－m，令2k－m＝3且m≤k≤10，m∈N，k∈N，得k＝2，m＝1或k＝3，m＝3，(x2－x＋1)10的展开式x3系数为C210C12·(－1)＋C310C33·(－1)3＝－210.9.已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且n是偶数，则a0＋12a1＋13a2＋14a3＋…＋1n＋1an＝__________.答案1n＋1解析由a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＝(2x－1)n，在区间[0，1]上，两边取积分可得：a0＋12a1x210＋13a2x310＋…＋1n＋1anxn＋110＝01(2x－1)ndx＝12n＋1(2x－1)n＋110＝1n＋1，即a0＋12a1＋13a2＋14a3＋…＋1n＋1an＝1n＋1.10.设an(n＝2，3，4，…)是(3－x)n的展开式中x的一次项的系数，则32a2＋33a3＋…＋318a18＝________.答案17解析令Tk＋1＝Ckn3n－k(－x)k＝Ckn(－1)k·3n－k2kx，令k2＝1，得k＝2，∴(3－x)n的展开式中x的一次项的系数为an＝C2n(－1)2·3n－2＝C2n·3n－2，又C2n＝nn－12，则32a2＋33a3＋…＋3