2011年高考一轮课时训练(理)10.4直线与圆锥曲线的位置关系 (通用版)

第四节直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况．答案：B2．已知双曲线C：x2－y24＝1，过点P(1,1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切．答案：D3．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为()A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0答案：D4．过抛物线y2＝4x的焦点的弦的中点的轨迹方程是()A．y2＝2(x－1)B．y2＝x－1C．y2＝x－12D．y2＝2x－1答案：A5．已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(0,5)C．[1,5)∪(5，＋∞)D．[1,5)解析：直线y－kx－1＝0恒过点(0,1)，仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点．所以，1m≤1且m＞0，得m≥1且m≠5.答案：C二、填空题6．(2008年全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设||FA||FB，则||FA与||FB的比值等于________．解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由y＝x－1y2＝4x⇒x2－6x＋1＝0⇒x1＝3＋22，x2＝3－22，(x1x2)；则由抛物线的定义知||FA||FB＝x1＋1x2＋1＝4＋224－22＝2＋22－2＝3＋22.答案：3＋227．已知(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．解析：设直线l与椭圆交于P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－x1＋x224·y1＋y22＝－44×2＝－12.由点斜式可得l的方程为x＋2y－8＝0.答案：x＋2y－8＝08.AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，若|AB|＝1，则AB中点的横坐标为____________；若AB的倾斜角为α，则|AB|＝________.解析：设过Fp2，0的直线为y＝kx－p2，k≠0，代入抛物线方程，由条件可得结果．答案：1－p22psin2α三、解答题9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解析：(1)抛物线y2＝2px的准线x＝－p2，于是，4＋p2＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴kFA＝43.又MN⊥FA，∴kMN＝－34，则FA的方程为y＝43(x－1)，MN的方程为y－2＝－34x，解方程组y－2＝－34x，y＝43x－1，得x＝85，y＝45.∴N85，45.10．已知椭圆E：xa2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，以F1(－c,0)为圆心，以a－c为半径作圆F1，过点B2(0，b)作圆F1的两条切线，设切点为M、N.(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0，－b)时，求此椭圆的离心率；(2)若直线MN的斜率为－1，且原点到直线MN的距离为4(2－1)，求此时的椭圆方程；(3)是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区－22，－33内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：(1)圆F1的方程(x＋c)2＋y2＝(a－c)2，因为B2M、B2N与该圆切于M、N点，所以B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，则过此四点的圆的方程是x＋c22＋y－b22＝c2＋b24，从而两个圆的公共弦MN的方程为cx＋by＋c2＝(a－c)2，又点B1在MN上，∴a2＋b2－2ac＝0，∵b2＝a2－c2，∴2a2－2ac－c2＝0，即e2＋2e－2＝0，∴e＝3－1.(负值已舍去)(2)由(1)知，MN的方程为cx＋by＋c2＝(a－c)2，由已知－cb＝－1，∴b＝c，而原点到MN的距离为d＝|c2－a－c2|c2＋b2＝|2ac－a2|a＝|2c－a|＝(2－1)a，∴a＝4，b2＝c2＝8，所求椭圆方程是x216＋y28＝1；(3)假设这样的椭圆存在，由(2)则有－22＜－cb＜－33，∴33＜cb＜22，∴13＜c2b2＜12，∴13＜c2a2－c2＜12，故得2＜a2－c2c2＜3，∴3＜a2c2＜4，求得12＜e＜33，即当离心率取值范围是12，33时，直线MN的斜率可以在区间－22，－33内取值．