沈阳二中2013-2014学年高二上12月月考数学试题(理)及答案

沈阳二中2013——2014学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高二（15届）数学试题（理）命题人：高二数学组审校人：高二数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有()A．1个B．2个C．3个D．0个2.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R”，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a≤－2或a＝1B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．－2≤a≤13.P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则PAPBPCPDPEPF等于()A．POB．3POC．6POD．04.对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x、y、z∈R)，则x＋y＋z＝1是P、A、B、C四点共面的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．126.下列四个条件中，p是q的必要不充分．．．．．条件的是()A．p：abq：a2b2B．p：abq：2a2bC．p：ax2＋by2＝c为双曲线q：ab0D．p：ax2＋bx＋c0q：cx2＋bx＋a07.抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1B.3C.33D.368.设椭圆x2a2＋y2b2＝1和x轴正半轴交点为A，和y轴正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，那么四边形OAPB面积最大值为()A.2abB.22abC.12abD．2ab9.已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)、F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MFMFMFMF则该双曲线的方程是()A．2219xyB．2219yxC.22137xyD.22173xy10.已知1F、2F是双曲线)0b,0a(1byax2222的两焦点，以线段F1F2为边作正21FMF，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.324B.13C.213D.1311.已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－212.已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为()A．x＝±152yB．y＝±152xC．x＝±34yD．y＝±34x第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值为14.过抛物线22ypx(0)p焦点F的弦AB，过,AB两点分别作其准线的垂线,AMBN，垂足分别为,MN，AB倾斜角为，若1122(,),(,)AxyBxy，则①2124pxx；221pyy．②||1cospAF，||1cospBF③||||2||||AFBFAFBFp，④||AB1222,sinpxxp⑤0FMFN其中结论正确的序号为15.若椭圆x236＋y29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为________．16.设有两个命题：①关于x的不等式mx2＋10的解集是R；②函数f(x)＝logmx是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）如右图，在空间四边形SABC中，AC、BS为其对角线，O为△ABC的重心，试证：（1）OA0OBOC(；(2)1()3SOSASBSC．18.（本小题满分12分）已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若条件p是条件q的充分条件，求实数a的取值范围．19.（本小题满分12分）设直线yaxb与双曲线2231xy交于A、B，且以AB为直径的圆过原点，求点(,)Pab的轨迹方程．20.（本小题满分12分）在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的范围．21.（本小题满分12分）已知双曲线方程2x2－y2＝2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于Q1，Q2两点，且Q1，Q2两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知椭圆C1的方程为1422yx，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线C2的方程；（Ⅱ）若直线2:kxyl与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足6OBOA（其中O为原点），求k的取值范围.沈阳二中2013——2014学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高二（15届）（理）数学试题答案一、选择题（每题5分，共60分）BACCCDABADBD二、填空题（每题5分共20分）13、2214、①②③④⑤15、－1216、m≥1或m＝0三、解答题（共70分）17、证明：(1)，①，②，③①＋②＋③得.(2)，④，⑤，⑥由(1)得：.④＋⑤＋⑥得3即SO＝13()．18.解：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}．①当a≥13时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}；②当a13时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}．因为p是q的充分条件，所以A⊆B，于是有a≥13，a2＋1≤3a＋1，2a≥2，解得1≤a≤3.,或a13，a2＋1≤2，2a≥3a＋1，解得a＝－1.故a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}．19.解：联立直线与双曲线方程得y＝ax＋b3x2－y2＝1，消去y得：(a2－3)x2＋2abx＋b2＋1＝0.∵直线与双曲线交于A、B两点，∴a2－3≠0Δ0⇒a23.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1＋x2＝2ab3－a2，x1·x2＝b2＋1a2－3.由OA→⊥OB→得x1x2＋y1y2＝0，又y1·y2＝(ax1＋b)(ax2＋b)＝a2x1x2＋ab(x1＋x2)＋b2，∴有b2＋1a2－3＋a2·b2＋1a2－3－2a2b2a2－3＋b2＝0.化简得：a2－2b2＝－1.故P点(a，b)的轨迹方程为2y2－x2＝1(x23)．20.解：设B、C关于直线y＝kx＋3对称，直线BC方程为x＝－ky＋m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m＝0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC中点M(x0，y0)，则y0＝y1＋y22＝－2k，x0＝2k2＋m.∵点M(x0，y0)在直线l上，∴－2k＝k(2k2＋m)＋3，∴m＝－2k3＋2k＋3k，因M(x0，y0)在抛物线y2＝4x内部，则y024x0，把m代入化简得k3＋2k＋3k0，即k＋1k2－k＋3k0，解得－1k0.21.解：(1)设A(2,1)是弦P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.22.解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为12222byax，则.1,31422222bcbaa得再由故C2的方程为.1322yx（II）将.0428)41(1422222kxxkyxkxy得代入由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221kkk即.412k①0926)31(1322222kxxkyxkxy得代入将.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222kkkkkk且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22BABABABABABABABABBAAkxkxxxyyxxyyxxOBOAkxxkkxxyxByxA而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222kkkkkkkxxkxxkBABA.0131315,613732222kkkk即于是解此不等式得.31151322kk或③由①、②、③得.11513314122kk或故k的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1(