2016年专项练习题集-空间向量的加减法

2016专项练习题集-空间向量的加减法本部分主要是掌握空间向量的加法和减法法则，加法主要应用平行四边形法则和三角形法则，以及多边形法则，减法主要是三角形法则，再利用加减法法则时要注意向量的起点终点。一、选择题1．已知空间向量a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－2，2），b＝x－a，则向量x的方向上的单位向量是()A．1B．32,31,32C．(-2,1，2)D．3【分值】5【答案】B【易错点】本题容易与单位向量的长度，向量本身混淆而选择A.C答案。【考查方向】本题考察了向量加法运算和单位向量的概念，属于常见题型。【解题思路】先计算出来向量x，再利用单位向量的概念||xx转换向量即可。【解析】由于b＝x－a，则x＝b＋a＝(－4，－2，2）＋(2,3，－4)＝(-2,1，2)．所以x方向上的单位向量是32,31,322122,1,2||222xx2．已知空间向量a(1,1,0)，b(－1,0,2)，OBka＋b,OA2a－b，若2AOB,则k的值是()A．1B.15C.35D.75【分值】5【答案】D【易错点】将向量的垂直条件和平行条件混淆。【考查方向】本题考察了空间向量的加法和减法的运算法则，以及空间向量垂直的条件。属于高考重点。【解题思路】利用空间向量的加法和减法的运算法则，以及空间向量垂直的条件：数量积是0。即可得到k的值。【解析】由于ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，因为2AOB，则有(k－1)×3＋k×2＋2×(－2)＝0，解得k＝75.3、如图，空间向量cbxxaOPOCcOBbOAa2)12(,,,,若点P在平面ABC内，则实数x等于（）3132.21.32.DCBA【分值】5【答案】C【易错点】共面向量基本定理解决共面问题时候列出三个系数的关系,之和为1,容易看成相等.【考查方向】本题考察了空间向量的加法和共面向量基本定理。【解题思路】利用共面向量基本定理既可以找到三者之间的等量关系，即OCOBOAOP)1(，所以系数值和为1.【解析】依据ABCP四点共面得到OCOBOAOPACABAP)1(,所以,因此x+2x-1-2=1,32x4、已知平面ABC内有一个点P(1，－1,2)，平面ABC的一个法向量是n＝(6，－3,6)，F点在直线AB上，则点F的可能坐标是()．A．(2,3,3)B．(－2,0,1)C．(－4,4,0)D．(3，－3,4)【分值】5【答案】A【易错点】由于平面法向量和平面内的任意向量的数量积是0，利用这个性质列方程组计算而得不到结果。【考查方向】本题考察了平面向量的法向量及其性质。【解题思路】由于平面法向量和平面内的任意向量的数量积是0，所以逐一代入既可以得到答案。【解析】∵n＝(6，－3,6)是平面ABC的法向量，F在直线AB上所以F在平面ABC内，∴n⊥FP→，在个选项中，只有选项A满足FP→＝(1,4,1)，∴n·FP→＝0.5、直线AB方向向量为a＝(1,0，－1)，点C(1，-2，1),D(3,-2,-1)，且点A不在直线CD上，则AB与CD的位置关系是()．A．平行B．相交C．垂直D．平行或重合【分值】5【答案】A【易错点】对直线方向向量的概念理解不好而求不出CD方向向量，再就是平行的条件不会用。【考查方向】本题考察了平面向量的减法和方向向量的概念以及两个向量平行和直线平行的条件。【解题思路】利用平面向量的减法求出DC直线的方向向量，再利用方向向量之间的关系判断两个向量平行进而得到直线平行。【解析】设直线CD的方向向量为b,babaCDb//2),2,0,2(二、填空题6、已知边长为1的两个正方形ABCD和CDEF，所成的二面角为60°，则B，E两点间的距离是()【分值】3【答案】2【易错点】求空间两点距离可以用向量表示，BE→＝BC→＋CF→＋FE→，但是再运算时候容易出现直接利用长度的和得到3的答案。【考查方向】本题考察了空间向量的加法以及空间向量的数量积。【解题思路】空间两点距离可以用向量表示，BE→＝BC→＋CF→＋FE→，再利用向量的模的运算，即可得到答案。【解析】∵BE→＝BC→＋CF→＋FE→，∴|BE→|2＝|BC→|2＋|FE→|2＋CF→2＋2BC→·FE→＋2FE→·CF→＋2BC→·CF→＝1＋1＋1－1＝2，故|BE|＝27．空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（1，0，2），B（2，5，0），C（5,6,z）若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BC是平面ABC的法向量，则实数x+y+z的值为________．.【分值】3【答案】537【易错点】利用法向量运算时找不到数量关系。【考查方向】本题考察了空间向量的加法法则和数量积的概念以及垂直的条件。【解题思路】利用向量的加法和减法法则求出AB,BC的方向向量，再利用垂直的条件和法向量的性质列出方程组即可。【解析】由题知：AB→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)，BP→⊥AB→，BP→⊥BC→.所以AB→·BC→＝0，BP→·AB→＝0，BP→·BC→＝0，即1×3＋5×1＋－z＝0，x－1＋5y＋－－＝0，x－＋y－3z＝0.解得x＝407，y＝－157，z＝4.所以x+y+z=407－157+4=5378、如图，空间不共面的三个向量BA→＝a，BD→＝c，BC→＝b，点E在BC上，且BE=2EC，F在AD上，且AF=3FD,向量zyxzcybxaEF则,（）【分值】3【答案】31zyx【易错点】用不共线的三个向量表示基底时候，一定要注意方向，容易出现符合错误。【考查方向】本题考察了空间向量的加法和减法，以及利用基底表示向量。【解题思路】利用空间向量的加法和减法，表示向量找到基底向量即可。【解析】依题意得：31,43,32,41433241414334133,3,32322,zyxzyxcbaEFacBABDBFBFBDBABFFDAFFDAFbBCBEECBEBEBFEF即，又三、解答题9、把边长为1的菱形ABCD沿对角线BD折起成直二面角，已知BD=1，点E、F分别是AB、DC的中点，点G是BD的中点，求：(1)折起后∠ADC角的余弦值．（2）EF的长；【分值】6【答案】∠ADC角的余弦值41,EF的长410【易错点】容易出现计算上的错误，以及在进行加法减法运算时丢掉21。【考查方向】本题考察了空间向量的加法和向量的模长，及其射影角定理。【解题思路】利用射影角定理直接求得∠ADC角的余弦值，再利用基底向量表示出EF的向量，从而可求得长度。【解析】依题意，取BD中点G，连接AG,CG则AGC是二面角的平面角，即2AGC，所以根据射影角定理可得：，41cos.coscosCDBADBADC由于，41021||252111111.2.2.22122222DFDBDAEFDFDADFDBDBDADFDBDADFDBDADFDBDADEDFEF10、已知空间直角坐标系中，O是坐标原点，三角形三个顶点坐标分别为A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,-1,2)，点Q在直线OC上运动，当QA→·QB→取最小值时，求点Q的坐标．【分值】6【答案】Q点坐标为12121，，【易错点】利用向量数量积求最值时候出现问题.【考查方向】本题考察了向量的减法和向量的数量积,以及共线向量基本定理.【解题思路】利用共线向量设出OQ→,即可以得到Q点坐标,【解析】设Q点坐标为（x,y,z),且OQ→＝λOC→＝(λ，-λ，2λ)，所以2zyx，则QA→＝(1－λ，2+λ，1－2λ)，QB→＝(2－λ，1+λ，2－2λ)，∴QA→·QB→＝(1－λ)·(2－λ)＋(2＋λ)(1＋λ)＋(1－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－6λ＋6＝232162∴当λ＝12时，QA→·QB→取得最小值23，此时Q点坐标为12121，，。