第20课时 正弦定理、余弦定理

？我们了解其哪些性质呢，角形，对于一个三角形在初中，我们介绍过三ABC内角和定理：.1CBA边角关系：.2两边之差小于第三边；）两边之和大于第三边（,1大角。）大角对大边，大边对（2形中的边角关系。我们进一步来研究三角这一课时,:.3面积公式高底21)1(SrcbaS)(21)2(角。大角对大边，大边对大三角形中：刚才，我们提到了，在角关系的定性研究。这仅仅是对三角形中边准确的研究现实世界。数字化的色彩，以便都量化来考察，都赋予世界上的万事万物万物皆数，数学就想把古代数学家就认为：在前面我们提到，早在量上有何具体的关系？在三角形中，边角在数同学们探求：大边，大边对大角，请根据三角形中，大角对猜想：CcBbAasinsinsin正弦定理一.CcBbAasinsinsin三角形外接圆半径）R(我们的猜想呢？那么，我们如何来证明角形。而三角形不只是直角三角形，，我们只会研究直角三我们知道，到目前为止三角形有几类？角三角形、钝角三角形三类：直角三角形、锐R2注意：边角互化)2(示范：BAbasinsinARasin2RaA2sin解三角形)1(正弦定理的作用基础例题解此三角形。中，在,10,30,45.1cBAABC根据下列条件解三角形.2;30,2,2)1(Aba解三角形：一）.(未知元素的过程。个是边），求其余三个的三个元素（至少有一三条边和三个角）中已知三角形六个元素（45,2,22Aba）（练习abACABCRt则中，已知在,14,30,90.1BbaAABC则中，在,24,34,60.2bcBAABC则中，在,23,45,75.3cAbaABC则中，在,30,15,5.4baBAABC则中，在,1,33cos,31sin.5ABBCCAABC则中，若在,1,150,31tan.321033144532552或6若有解，有几个解。角形是否有解，根据下列条件，判定三.4.45,2,3)1(Bba.120,2,3)2(Aba.60,48,60)3(Bba.80,5,7)4(Aba.45,16,14)5(Aba三角形解的讨论二).(无解一解无解一解两解三角形解的判定方法：则必有唯一解。和其夹角或三边若已知两角一边或两边,)1(则画出这样的图形：的对角若已知两边和其中一边,)2(bAa的大小。、与绕交点旋转，并比较想象：AbbaasinAbsin三角形形状的判定三).(的形状是则中，若在ABCBACABC,sinsinsin)1.(5222的形状是则中，若在ABCBbAaABC,coscos)2(。的形状是则中，已知在ABCCcBbAaABC,coscoscos).3(方法：）边（1）角（2（数式变形）（三角变形）直角三角形形等腰三角形或直角三角等边三角形作业教材）（习题练习11310P。、）、（习题963211P3练习CBAcbaaAABCsinsinsin,3,60则中，若在）（习题11的长。求这个三角形的最大边，中，已知在1,15,135cBAABC）（习题32.2,45,6)2(;60,67,141aAcBba）（：根据下列条件解三角形6习题）证明正弦定理。（；和求中，已知）在（；求中，已知）在（面的问题：并运用这一结论解决下，证明仿照正弦定理的证法3,30,45,102,150,3,21,sin211ABCABCABCSbCAcABCSCbaABCCabS9习题并证明你的结论。三角形也成立吗？探索这一关系对任意故有外接圆的直径等于中，斜边在,2sinsinsin,2RCcBbAaRABCRtcABCRt三角形的面积公式二.高底21)1(ABCSAbcBacCabSABCsin21sin21sin21)2(rcbaSABC)(21)3(三角形内切圆半径）r(RabcSABC4)4(三角形外接圆半径）R())()((5cpbpappSABC）海伦公式（)21cbap（其中（了解）式：秦九韶“三斜求积”公我国南宋时期，数学家)6(222222241bacacSABC（了解）（四）正弦定理的应用的大小关系为与则中，若在baBAABC,sinsin.6ABCSACABBABC则中，在,2,32,30.7DCBDACABBACADABC用正弦定理证明：的平分线，是中，在.8CBAbaaccbABCsin:sin:sin,6:5:4)(:)(:).9则中，已知（在ba332或3:5:7。，求山的高度山顶的仰角为处，又测得后到达的斜坡前进沿倾斜角为，的仰角为处测得山顶如图，某登山对在山脚BCDmBA6510002035.10.)62sin2sin)1(.54cos,3,2.1的值（）求（的值；求中，已知在BBABCACABC提升例题解三角形：一）.(，求最小边的边长。最大边的边长为）若（的大小；求角中，在172)1(.53tan,41tan.2ABCCBAABC则最大角为最大边与最小边之比为中，在,2:)13(,60.3BABC三角形解的讨论二).(，无解？三角形有一解，有两解为何值时，讨论当中，若在bAaABC,30,32.4的取值范围是则如果三角形有解，中，已知在AabABC,2,22.5三角形形状的判定三).(的形状是则中，若在ABCCBACBAABC,sinsinsin,cossin2sin.6222的形状是则中，若在ABCcabBABC,2,60.7的面积等于，则，中，在ABCAcmBCcmABAAABC,322,1cossin3.9abccbaABC，则外接圆半径为，面积为的三边长分别为141,,,.10的大小关系为与则中，若在BABAABCsinsin.8（四）正弦定理的应用.::,135cos,54cos.11cbaBAABC求中，在ACBcbABCsin,6,3:2:.12则中，在的最大值。）求（的解析式和定义域；）求函数（周长为设内角，，边中，已知内角在yxfyyxBBCAABC2)(1.,323.13的取值范围。）求（的大小；求且的对边分别为的内角设锐角CABAbacbaCBAABCsincos2)1(.sin2,,,,,.14的取值范围。求中，已知在bcBCABC,3.16的大小关系是与那么上是增函数，，在是锐角三角形，函数已知)(cos)(sin10)(.17AfBfxfABC的值。求中，在AbbcBAABC,2tantan.18的值。，求的面积为中，已知在bABCCBabABC315,sinsin,360.15。，求塔高的仰角为测得塔顶并在点测得，现与测点在同一水平面内的两个塔底时，可以选与高如图，测量河对岸的塔ABACsCDBDCBCDDCBAB,,,.19说明理由。角航行是否有危险，则该货轮按目前的方位过，内有暗礁使货轮无法通）若灯塔周围（两点间的距离；）求（的方位角是灯塔点，观测，航行半小时后到达为的方位角点观测灯塔确定船位，在的方向航行，为了沿着方位角为的速度如图，货轮在海上以kmACACABhkm132,1.65110140/40.20ABCNN角。时针转到目标方向线的方位角是从指北方向顺注意：记住）(的最大值和最小值。）求（的函数；表示为与分别设为的面积）试将（）。（，设的中心经过上的点，线段分别是边的正三角形，是边长为如图，已知222121112)(,1323,,1.21SSySSAGNAGMMGAGABCMNACABNMABCABCDGMN余弦定理三.AbccbaABCcos2222中，证明：在引例：Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222注意：边角互化)2(解三角形)1(余弦定理的作用bcacbA2cos222（余弦定理的变形★）acbcaB2cos222abcbaC2cos222方法：与三角形有关的问题的四.内角和定理：.1CBA（消角）正、余弦定理：.2RCcBbAa2sinsinsin其一）(cos2222Abccba（边角互化）三角形的面积公式.3高底21)1(ABCS（其一）CabSABCsin21)2(rcbaSABC)(21)3(三角形内切圆半径）r(边角关系：.4两边之差小于第三边；）两边之和大于第三边（,1大角。）大角对大边，大边对（2三角变形.5公式）（角、名、形、次，想例题.,3,5,72,60,1,31.1AcbaaAcbABC求）已知（；求）已知（中，在.,15,22,2.2ACbaABC求角中，已知在.,45,2,3.3cBbaABC求中，已知在.;.4222222cbaCcbaCABC为钝角时，当为锐角时，中，当证明：在能，是什么三角形？能不能组成三角形？若，则用这三条线段，，若三条线段的长分别为765.5的大小。试求中，已知在CcabbaABC,.6222。试判断该三角形的形状中，已知在,cossin2sin.7CBAABC222)(221.8BCACABAMBCABCAM边上的中线，求证：中是如图，ABCM面积最大？四边形在什么位置时，。问：点等边三角形为一边作为半圆上任意一点，以，为直径延长线上的一点，的直径为如图，半圆OACBBABCABBOAAO,22.9的值。的大小和求：且已知的对边，分别是角中，在cBbAbcaccaacbCBAcbaABCsin.,,,,,.10222.,9,25)2(;cos)1(.73tan,,,,.11cbaCACBCCcbaCBAABC求且若求，的对边分别为中，角在的度数。求角的面积为）若（的长；求边，且的周长为已知CCABCABCBAABC,sin612)1(.sin2sinsin12.12的值。取最大值时，求则当的面积为）若已知（的最大值；）求（为空集。的解集的不等式关于的对边分别为三内角已知baCSABCcCCxCxxcbaCBAABC,233,272106sin4cos,,,,,.132.21,1,2.14cabCABABC求证：中，在的值域。）求函数（的值域；）求函数（的取值范围；求角且所对的边分别为中，角在BBByBBByBacbcbaCBAABCcossin2sin13cossin2sin12)1(.,,,,,.152的面积。求四边形中，形如图，已知圆内接四边ABCDCDADBCABABCD,4,6,2.16____21.18的取值范围是，则，中，在CBCABABC______,3,2.17的取值范围为则，长分别为已知锐角三角形的三边xx的面积求的度数和边求角的两根，且是方程的对边，分别是角中，已知在ABCcCBAxxbaBAbaABC)2()1(1)cos(20232,,,.192的最大值的函数，并求出表示成试将的周长为四边形若，求，点坐标为若为正三角形的两交点轴与分别是圆上的点是单位圆如图：yxyyCABDxxAOCBOCAAOBxODCOBA,320)2(cos5453)1(,,,,.20。靠近渔轮所需要的时间求舰艇的航向和小时的速度前去营救。海里立即以。我海军舰艇小时的速度向小岛靠拢海里方向，以的位角为处，并测得渔轮正沿方海里的距离为