第40课时 直线

的联系。从而建立了代数和几何系，借助于直角坐标系笛卡尔创立了直角坐标功于数学家笛卡尔，解析几何的创立，应归,)2,1(的联系。建立了点和有序实数对首先在直角坐标系中，12xy曲线和方程的联系。也就建立了从而的联系建立了点和有序实数对构成的集合，我们知道，曲线是由点,,等量关系。一点的横纵坐标之间的线上任意曲线方程展示的就是曲程的解，曲线上点的坐标都是方都在曲线上，以方程的解为坐标的点的联系。如何建立了代数与几何助于直角坐标系，刚才，我们介绍了，借呢？那么，什么是解析几何例子。我们先来看两个简单的。轴）的连线于，）与点（，点（则轴垂直的连线与）和点（，点（xxxx2221;,)1,32.1的开口向下，则函数。的图象，开口函数cbxaxybaxxy22.2解析几何：★的代表。数形结合的典型而完美解析几何是尤其是与圆有关的问题它的几何性质因此我们还应经常兼顾但是它毕竟是几何，代数化的过程几何问题解析几何的过程，就是所以研究研究几何的一门学科代数的方法来借助于直角坐标系，用;;;;注意：的直线学起。因此，我们先从最简单见的图形是直线，几何中，最简单、最常列出相应的代数式。给你一个几何关系，则几何问题代数化：.3什么呢？那么，我们研究直线的。线并不只有这一种途径实际上，要确定一条直定。，直线可以由两点来确在几何学中，我们知道由形而知数。.2由数而知形；.1你知道怎么走吗？米东走举例：站在教室门口向,20从中你有何感悟？进的路线。是因为我给你确定了行你知道怎么走,方向来确定。直线也可以由一个点和程度。也可以说是直线的倾斜这种方向，在直角坐标系，直线的来刻画呢？倾斜程度由该如何用数刻画，那么直线的坐标（有序实数对）来，点可以用它的来研究几何的一门学科用代数的方法我们知道，解析几何是受到倾斜程度的存在。在生活中，我们经常感你能举例吗？爬山上楼梯，应如何来刻画？思考，楼梯的倾斜程度级宽级高级宽级高楼梯的坡度该直线的倾斜程度。楼梯的坡度，也能体现应该如何来刻画了吗？直线的倾斜程度你知道,,率。我们把它叫做直线的斜刻画直线倾斜程度的量,直线的斜率一.),(22yxQ),(11yxPM12yy12xx的斜率为：那么直线如果已知两点PQxxyxQyxP,),,(),,(2122111212xxyyk横坐标的增量纵坐标的增量xy注意：不存在。直线的斜率轴垂直直线于kx)2(。两点的选择和顺序无关）直线的斜率与直线上（1强化概念的斜率。试计算直线分别经过点又都经过点如图，直线321321321321,,),2,3()2,4(),1,2(,,),2,3(,,lllQQQlllPlll1lP1Q2Q3Q2l3l0)3(k直线的斜率直线从左至右是上升的0)4(k直线的斜率直线从左至右是向下的0)()5(kxy直线的斜率轴平行或重合即与轴垂直直线与画方式。并不只有斜率这一种刻直线的倾斜程度,种。可能，所以斜率也有四直线的倾斜程度有四种出。通过定义也可以直接看实际上，这几条注意，直线的倾斜角二.倾斜角。线的最小正角，叫做这条直直线重合时，所转过的按逆时针方向旋转到和轴所在的直线绕着交点把轴相交的直线，对于一条与在平面直角坐标系中，xx注意：；为轴垂直的直线的倾斜角规定：与0)1(y直线的倾斜角的范围：)2(180,0关系直线的斜率和倾斜角的三.呢？那么它们之间有何关系，能刻画直线的倾斜程度既然，斜率和倾斜角都和倾斜角的关系。分四种情况来研究斜率四种可能，因此，我们倾斜程度有定义，我们知道直线的通过对斜率和倾斜角的),(22yxQ),(11yxPM12yy12xx为锐角倾斜角斜率0.1k1212xxyykMPMQtan为钝角倾斜角斜率0.2k),(11yxP),(22yxQM1801212xxyykMPMQ)180tan(tan00.3直线的倾斜角为直线的斜率k00tan0k90.4直线的倾斜角为不存在直线的斜率k不存在k无意义90tan综上四种情况，的关系：和倾斜角直线的斜率ktank★）（90★注意：切函数图象。斜率与倾斜角之间的正)2(.,90,)1(斜率不存在倾斜角为轴垂直时当直线与x例题则其斜率为），）和（，一条直线经过点（,1331.1xABBxA则的斜率为并且直线、已知两点,21),0,3()2,(.2aQPaaM则两点确定的直线上、在已知点,)31,1()31,0(),(.3三点共线求证：)5,2(),1,2(),4,1(.4CBA，则该直线的斜率为已知直线的倾斜角为120.5的倾斜角为则直线），过原点和点（已知直线ll,33.6.120,),2,1(.7的倾斜角为使直线在坐标轴上求一点已知点PAPA的斜率的取值范围是则直线，且的倾斜角为已知直线ll,1350.8的倾斜角的取值范围是则直线，且的斜率为已知直线lkkl,1,3.9的取值范围。的斜率有交点，求直线且于线段，经过点，直线、已知点klABPlBA)2,1()1,4()5,1(.10的取值范围。求，满足已知实数22)01(,.112xyxxyyx直线的方程四.引例.,2),3,1(的方程求直线且斜率为过点已知直线lAl系。横纵坐标满足的等量关的就是求曲线上任意一点所以，★求曲线方程，系，横纵坐标满足的等量关曲线上任意一点的因为曲线方程展示的是点斜式★★★.1的直线方程为：且斜率为经过点（kyx),,00)(00xxkyy注意：斜率存在的直线:),,200斜率不存在，方程为轴垂直的直线，且与）经过点（（xyx0xx）点斜式的适用范围：（1练习：的直线方程为斜率为），经过点（3,24).1(的直线方程为轴的交点的横坐标为与斜率为7,23).2(x求这条直线方程。，且其倾斜角为），一条直线经过点（135,31).3(的方程。求直线），轴的交点为（与的斜率为已知直线lbykl,0,).4(斜截式★★★.2的直线方程为：轴上的截距为在斜率为byk,bkxy注意：轴上的截距。叫做直线在轴交点的纵坐标）直线与（yy,1轴上的截距。叫做直线在轴交点的横坐标）直线与（xx,2可以为负。）截距非距（,3式。）斜截式的本质是点斜（5斜截式的适用范围：)6(斜率存在的直线。截距。）并不是每条直线都有（4练习：的直线方程为轴上的截距为在斜率为2,2).1(y）的直线方程为，且过点（的斜率相等与直线50,13).2(xy的直线方程为轴上的截距为且在倾斜角为1,150).3(x两点式.3的直线方程为：经过点),)(,(),,(212122111yyxxyxPyxP121121xxxxyyyy注意：）两点式的适用范围：（1不与坐标轴垂直的直线式）两点式的本质是点斜（2程。再用点斜式写出直线方则先求出斜率，如果求出直线上两点，，基本不用，）两点式在以后解题时（3练习的值。上，求实数在直线）若点（的方程；求出直线已知两点aABaCABBA),2(2)1()12,8(),2,3(的直线方程为：其中，和（经过点,0),0)0,(abba1byax截距式★.4注意：式）截距式的本质是两点（1）截距式的适用范围：（2在两坐标轴上都有截距0,且截距不为不过原点）（★★★特别注意图象练习在直线的方程。试求这个三角形三边所已知三角形的顶点是),2,0(),3,3(),0,5(CBA★★★注意：四种：确定直线方程的方法有)1(）选择标准：（2与哪种形式关系最紧密线方程形式。选择合适的一种确定直据题目的条件，在求直线方程时，应根距，点斜、斜截、两点、截;件都需要两大独立几何条一般式★★.5都表示直线吗？）不全为的一元二次方程关于的二元一次方程，那么它们都是关于，线方程的四种特殊形式我们在已经介绍了，直0,(0,,BACByAxyxyx）都表示一条直线。不全为的二元一次方程，任何关于）在平面直角坐标系中（0,(0,1BAcByAxyx.,0,(00BCyBABACByAxB轴上的截距为在）的斜率为不全为直线时，①当注意：轴的直线。它表示垂直于）可以写成不全为（时，方程②当xACxBACByAxB,0,00）不全为的二元一次方程）直线的方程都是关于（0,(0,2BACByAxyx。叫做直线方程的一般式），不全为）方程（0,(03BACByAx练习：轴上的截距，并作图。轴，以及它在的斜率，求直线yxxxl01553:例题的性质根据直线方程研究直线.1.45.3,062).1(的斜率倾斜角为②直线轴上的截距是在①直线的值：根据下列条件分别确定的方程为设直线lxlmmmyxl象限。不经过的象限是第则直线若0,0,0).2(CByAxACAB）表示的直线可能是（方程如图01,).3(aaxy的坐标为则点过一定点直线PPxmy,3)3()4(点的坐标为则过定点直线AAayxa,012)1().5(0.0..0.,0,0,).6(21bdDbdCcaBacAdcyxbayxll）其图象如图所示，则（的方程分别为已知直线求直线方程★.2相等的直线方程是的斜率）且与直线，经过点（0105421).1(yx）的直线方程是，且过点（的倾斜角的倾斜角是直线13,41013).2(yx的方程。求直线围成等腰直角三角形与两坐标轴若直线），过点（已知直线lll,,12).3(直接法求直线方程：大独立几何条件直接求出确定直线的两.,43).4(的方程求直线相等，且在两坐标轴上的截距），过点（已知直线ll的方程。求直线且经过点，形的面积为与两坐标轴围成的三角已知直线lAl),4,3(3).5(的方程。时直线的周长为求在两点、轴的正半轴交于轴、且与过点直线lAOBBAyxPl12,),2,34().6(程：用待定系数法求直线方设：)1(;线方程根据题意设出适当的直列：)2(;列方程:)3(求求出待定系数提升.3的最大值。求上运动，在线段动点、已知xyMNyxPNM),(),4,0()0,3().2(求此时直线的方程。，成的三角形的面积最大与两坐标轴的正半轴围②若直线的值；，求的斜率等于①若直线的方程为已知直线lmlmymxl2.14).3(.,,,),2,3()1(的方程直线的面积的最小值及此时求两点轴的正半轴分别交于轴且与过点已知直线lAOBBAyxPl两条直线平行与垂直五.两条直线平行.1222111:,:bxkylbxkyl斜率存在的两条直线21ll∥2121bbkk且2211:,:xxlxxl两条直线注意：斜率都不存在的21ll∥21xx练习：所得的四边形是梯形。四点，顺次连接求证)4,4(),3,2(),27,5(),3,2(:)1(DCBA直线的方程。平行的且与直线求过点052),3,2().2(yxA两条直线垂直.2222111:,:bxkylbxkyl斜率存在的两条直线21ll121kk注意：练习：.:),11,6(),4,3(),6,10(),3,5().1(CDABDCBA求证已知四点的值。求实数且经过点直线的斜率为已知直线allaBaAlkl,),1,0(),2,3(,43).2(212211.,)2(单独考虑斜率不存在的情况首先在研究直线时★;0)1(的直线垂直率为斜率不存在的直线和斜所在的直线的方程。边上的高求已知三角形的顶点为ADBCCBA),3,2(),2,1(),4,2().3(两条直线的交点六.0:,0:22211111CyBxAlCyBxAl直线的解方程组00222111CyBxACyBxA的公共点个数直线21,ll的位置关系直线21,ll一组一个相交无数组无数个重合无解个