第46课时 双曲线

1问题们有何想法？对双曲线的学习，同学为什么？2问题哪些主要知识？对于椭圆，我们学习了3问题是什么？步骤的算法的标准方程类比椭圆，建立双曲线)(化代限（现）设建双曲线的标准方程一.建1F2Fxyo1F2F当的直角坐标系？类比椭圆，如何建立适4问题yxo方案一方案二以方案一为例建立直角坐标系。轴，的垂直平分线为线段轴，所在的直线为如图，以yFFxFF2121,设),,(yxP设双曲线上任意一点为,221cFF的距离为，,2,21aFF的距离之差的绝对值为双曲线上任意一点到限根据双曲线的定义知21PFPFa2代.0(),0,(21），则cFcF)0(acaycxycx2)()(22225问题的限制条件是什么？双曲线上任意一点满足化6问题何化简？观察方程的特征，应如去绝对值，得aycxycx2)()(22227问题？面的化简，你有何想法观察上式特征，对于下化简，得)()(22222222acayaxac得方程两边同除以),(222aca8问题吗？方程还可以变得更简洁122222acyax,022ac得),0(b12222byax222bac令双曲线的标准方程轴焦点在x.11F2Fxyo12222byax)0,0(ba9问题程吗？轴上的双曲线的标准方你能得到焦点在y轴焦点在y.21F2Fyxo12222bxay)0,0(ba练习。，两焦点的坐标分别为轴上，的焦点在双曲线194.122yx。，两焦点的坐标分别为轴上，的焦点在双曲线1243.222yx注意：方法：双曲线焦点位置的判定.1系数为正的轴上。根据标准方程，焦点在满足：双曲线中,,,.2cba222bac10问题?位置如何判定双曲线的焦点1例题的取值范围是表示双曲线，则若11222yx的值为则），，的一个焦点为（已知双曲线kkykx3088222例题线的标准方程求满足下列条件的双曲练习轴上；焦点在yba,4,3.1；于的距离的差的绝对值等到双曲线上一点分别为已知双曲线的两个焦点8,),0,5(),0,5(.22121FFPFF轴上。焦点在经过点yAa),5,2(,52.311问题标准方程的算法吗？结双曲线通过上述练习，你能总3例题的双曲线的标准方程。且经过点有相同的焦点，求与双曲线)2,23(141622yx法：求双曲线标准方程的算定类型)1(）列方程（2ba,3）求系数（4例题的双曲线的标准方程。和求过点)3,4()1,334(NM5例题）求这条曲线的方程。（爆炸点在什么曲线上？，设声速为处迟出听到爆炸声比在在，一炮弹在某处爆炸，两地相距已知2)1(./3402800,smsBAmBA0,012222babyax0,012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2+b2定义注:2x2y焦点在x轴的双曲线项系数为正.焦点在y轴的双曲线项系数为正.1F2Fxyo1F2Fyxo)022(221acaMFMF课堂小结课后思考线的几何性质。类比椭圆自己研究双曲补充完整。把双曲线的推导过程，.2.1课后书面作业7,6,5,4,2,139P教材双曲线的几何性质二.轴上的标准双曲线为例以焦点在x12222byax),0,0(222bacba形：标；轴在负半轴交点的横坐或小于双曲线与标，轴在正半轴交点的横坐值大于双曲线与xxx范围.1Ry得令,0yax数：得由,12222byax12222byax,22axaxax或axax或Ry的平面区域内表示或双曲线位于不等式axax1F2Fxyo1A2A对称性.2形：轴和原点都对称轴、关于yx数：方程不变，换成把xx方程不变，换成把yy方程不变，，分别换成同时把yxyx,也是中心对称图形。双曲线是轴对称图形，注：叫做双曲线的中心双曲线的对称中心轴对称证明双曲线关于x证明：,1),(2222上任意一点是双曲线设点byaxyxP轴的对称点为其关于x),(/yxP2222)()(byax2222byax1轴对称双曲线关于x顶点.3形：双曲线的关键点是：轴的交点，与x与对称轴的交点数：)0,(,0,aa双曲线的关键点是：叫做双曲线的顶点。点，双曲线与其对称轴的交)1(顶点为：)2()0,(,0,aa21)3(AA线段双曲线的实轴21BB线段双曲线的虚轴实轴长为)4(a2虚轴长为b2实半轴长为)5(a虚半轴长为b轴没有交点。双曲线与其对称轴y形：数：得令,0x22by无解轴上。画在我们还是把点但为了画图的方便，ybBbB),0(),,0(21怎样的限制？围受到你还能发现双曲线的范根据双曲线方程,12222byax数：12222byax0byaxbyax0000byaxbyaxbyaxbyax或域内。不等式组表示的平面区个所以双曲线还在上面两形：1F2Fxyo1A2Axabyxaby势？双曲线有怎样的变化趋从形上看，逐渐接近于这条直线。的下方在直线无限延伸，双曲线向右向上以第一象限为例，xaby渐近线.4xabybyax渐近线为直线的双曲线12222双曲线的渐近线？如何证明这两条直线是以第一象限为例1F2Fxyo1A2AxabyPM),(xabxP),(22axabxM22axabxabPM)(22axxab)())((222222axxaxxaxxab222axxaab0PMx时，当直线。的下方逐渐接近于这条在直线双曲线在第一象限的点xaby双曲线矩形★.5xaby1F2Fxyo1A2A2B1Bxaby所围成的矩形★和直线byax什么有关呢？那么，双曲线的形状与形状不尽相同，类似于椭圆，双曲线的形：；与双曲线的渐近线有关与双曲线矩形有关；数：有关与abab双曲线小扁狭大开阔离心率.6离心率)1(ac离心率的范围：)2(,1e越小双曲线越e)3(“扁狭”越大双曲线越e“开阔”e双曲线的通径.7通径：)1(通径实轴的弦叫做双曲线的于过双曲线的焦点且垂直通径长)2(：证明1得令,cx12222byac22222aacby22ababy2ab22通径：证明2则设,,2211rAFrAF2222121)2(,2crrarr①221214))((crrrr②acrr2212abr2222由①②得ab221F2Fxyo1A2AAB双曲线相关知识表三.定义)0(221acaMFMF图象标准方程12222byax关系cba,,222bac焦距c21F2Fxyo1F2Fyxo焦点)0,()0,(cc、范围axaRy对称性原点对称轴、轴、关于yx顶点)0,(,0,aa半轴长a实半轴长b虚半轴长离心率ace通径长ab22渐近线xaby进线。焦点坐标、离心率、渐、虚轴长、顶点坐标、求下列双曲线的实轴长练习134)1(22yx144169)2(22yx144169)3(22yx★求双曲线渐近线的方法四.即渐近线方程。，，解出的两条直线方程令常数项等于0共轭双曲线五.共轭双曲线。双曲线叫做原双曲线的实轴，实轴为虚轴的以已知双曲线的虚轴为的共轭双曲线是）双曲线（112222byax注意：12222axby有共同的渐进线；双曲线与其共轭双曲线)2(上。线的四个焦点在同一圆）双曲线与其共轭双曲（3等轴双曲线六.线。双曲线，叫做等轴双曲实轴长和虚轴长相等的注意：）等轴双曲线的方程为（1222222axyayx或)0(22yx即等轴双曲线的性质)2(呢？等轴双曲线有哪些性质等轴双曲线虚轴长实轴长双曲线矩形是正方形2e渐进线互相垂直xy渐进线为例题求双曲线的方程。方程是），且它的两条渐进线，已知双曲线经过点（,363.1xy★注意：。解决问题有时比较方便可设双曲线标注方程为已知双曲线的渐近线为),0(,0)1(2222yBxAByAx。解决问题有时比较方便）（可设为有共同渐近线的方程与双曲线,01)2(22222222byaxbyax，求双曲线的方程。焦点到渐近线的距离为，距离为坐标轴，两个顶点间的已知双曲线的对称轴为22.2求双曲线的方程。它的一个焦点为在原点已知等轴双曲线的中心),22,0(,.3F★注意：记住解决小题用。虚半轴长），的距离等于双曲线的焦点到渐近线(b的轨迹是的圆心则动圆都相切和圆与圆动圆MMyxCyxCM,2)4(:2)4(:.4222221系直线与双曲线的位置关七.)0,0(12222babyaxmkxy与双曲线直线得消去由ybyaxmkxy12222①02)(222222222bamakmxaxkab时时，即当abkkab0)1(222时，当0m时，当0m方程①无解，，直线与双曲线无公共点相离方程①有一解，共点，直线与双曲线有一个公相交考虑）斜率不存在的直线单独(时时，即当abkkab0)2(222时，当0时，当0时，当0方程①有两解，共点，直线与双曲线有两个公相交方程①有两个等根，共点，直线与双曲线有一个公相切方程①无解，，直线与双曲线无公共点相离总结共点，相离双曲线与其渐进线无公）（.1交行线有一个公共点，相双曲线与其渐进线的平）（.2个或两个公共点直线与双曲线相交有一）（.3的情况才叫相切。）只有（041例题.,1064422到另一个焦点的距离求点焦点的距离等于到它的一个上一点已知双曲线MMyx2例题.,,,,1366421212122的面积求且双曲线上在点的焦点为已知双曲线PFFPFPFPFFyx3例题.,,11222并写出焦点坐标范围的取值求表示双曲线已知方程kkykx5例题若不能，请说明理由。程；）？若能，求出它的方，两点的中点为（且两点与双曲线交于使能否作直线，）过点（在的直线方程；为中点的双曲线的弦所，求以已知双曲线方程11,,,,)11(2)12()1(.22212122QQQQllAyx4例题曲线的实轴长等于双曲线的左顶点，则双且这个公共点恰是有且只有一个公共点，与双曲线的直线过点1),1(2222byaxlabPABCDE的取值范围。求双曲线离心率时当为焦点且以三点双曲线过中已知等腰如图eBAEDCECAECDABABCD,4332,,,,,,,2,,6例题7例题的离心率为则双曲线线的夹角为已知双曲线的两条渐近,60