2019中考数学专题练习-圆的相交弦定理(含解析)

2019中考数学专题练习-圆的相交弦定理（含解析）一、单选题1.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2，BD=，则AB的长为（）A.2B.3C.4D.52.如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O的半径为（）A.9B.8C.7D.63.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=1，如果以C为圆心，以CB长为半径的圆交AB于点P，那么AP的长为（）A.B.C.D.34.如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是（）A.PAAB＝PCPBB.PAPB＝PCPDC.PAAB＝PCCDD.PA∶PB＝PC∶PD5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）A.B.C.D.6.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB=4，DE=CE+3，则CD的长为（）A.4B.5C.8D.107.如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A.B.5C.+1D.8.在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AM=4，MB=3，则CM•MD=（）A.28B.21C.12D.79.如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积是（）A.16πB.36πC.52πD.81π10.如图，⊙O的直径AB=8，弧AC=弧BC，E为OB上一点，∠AEC=60°，CE的延长线交⊙O于D，则CD的长为（）A.6B.4C.D.11.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点，AE=6，BE=2，CD=2，则∠AED的度数是（）A.30°B.60°C.45°D.36°12.如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）A.6B.7C.8D.913.如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP=3，BP=2，CP=1，则DP=（）A.3B.4C.5D.614.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.4cm二、填空题15.如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE=3，AE=4，DE=2，则⊙O的半径是________．16.一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为________米．17.已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，AP=8，BP=3，PD=PC，则CD=________．18.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为，则O点到BE的距离OM=________．19.一圆周上有三点A，B，C，∠A的平分线交边BC于D，交圆于E，已知BC=2，AC=3，AB=4，则AD•DE=________．三、解答题20.已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．21.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4，求EC的长．四、综合题22.如图，（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP=________（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与PA•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD=，求PC、PD的长．23.根据题意解答（1）九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．（2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．答案解析部分一、单选题1.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2，BD=，则AB的长为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【考点】勾股定理，垂径定理，相交弦定理【解析】【解答】解：连接OD．由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，则R2=（）2+（R﹣1）2，由此得2R=3，或由相交弦定理得（）2=1×（2R﹣1），由此得2R=3，所以AB=3故选B．【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．2.如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O的半径为（）A.9B.8C.7D.6【答案】C【考点】相交弦定理【解析】【解答】解：由相交弦定理得：AP×BP=CP×DP，∵PA=4，PB=6，PD=2，∴CP=12，∴DC=12+2=14，∵CD是⊙O直径，∴⊙O半径是7．故选C．【分析】根据相交弦定理得出AP×BP=CP×DP，求出CP，求出CD即可．3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=1，如果以C为圆心，以CB长为半径的圆交AB于点P，那么AP的长为（）A.B.C.D.3【答案】B【考点】勾股定理，相交弦定理【解析】【解答】解：如图，延长AC交⊙C于E，设与圆的另一个交点为Q，在Rt△ABC中，∠C=90°，∵，BC=1，∴AB==，∵CQ、CB、CE都是圆的半径，∴CQ=CB=CE=1，根据割线定理得AQ•AE=AP•AB，∴AP===．故选B．【分析】如图，延长AC交⊙C与E，设与圆的另一个交点为Q，首先在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=1，利用勾股定理即可求出AB的长度，根据题意可以知道CQ=CB=CE=1，然后根据割线定理即可求出AP的长度．4.如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是（）A.PAAB＝PCPBB.PAPB＝PCPDC.PAAB＝PCCDD.PA∶PB＝PC∶PD【答案】B【考点】相交弦定理【解析】【解答】连接AC与BD，与是所对的圆周角，故答案为：B.【分析】可以根据圆的性质证明△BPD和△CPA相似，由此可得出PA⋅PB＝PC⋅PD，即为相交弦定理。5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【考点】勾股定理，相交弦定理【解析】【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．即（r﹣m）（r+m）=m•QD，所以QD=．连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，即，解得所以，故选D．【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．6.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB=4，DE=CE+3，则CD的长为（）A.4B.5C.8D.10【答案】B【考点】相交弦定理【解析】【解答】解：设CE=x，则DE=3+x．根据相交弦定理，得x（x+3）=2×2，x=1或x=﹣4（不合题意，应舍去）．则CD=3+1+1=5．故选B．【分析】运用相交弦定理求解．7.如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A.B.5C.+1D.【答案】A【考点】相交弦定理【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AE===，∵BC=3，BE=1，∴CE=2，由相交弦定理得：AE•EF=BE•CE，∴EF==，∴AF=AE+EF=；故选：A．【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长．8.在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AM=4，MB=3，则CM•MD=（）A.28B.21C.12D.7【答案】C【考点】相交弦定理【解析】【解答】解：由相交弦定理知，CM•MD=AM•MB=3×4=12，故选C．【分析】由相交弦定理进行分析即可．9.如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积是（）A.16πB.36πC.52πD.81π【答案】B【考点】勾股定理，垂径定理，切线的性质，相交弦定理【解析】【解答】解：连接OP、OB．∵大圆的弦AB与小圆相切于点P，∴OP⊥AB，∴PA=PB．∵CD=13，PD=4，∴PC=9．根据相交弦定理，得PA=PB=6，则两圆组成的圆环的面积是πOB2﹣πOP2=πPB2=AB2=36π．故选B．【分析】连接OP，先根据切线的性质定理和垂径定理证出PA=PB，再根据相交弦定理求得AB的长，最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解．10.如图，⊙O的直径AB=8，弧AC=弧BC，E为OB上一点，∠AEC=60°，CE的延长线交⊙O于D，则CD的长为（）A.6B.4C.D.【答案】D【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，垂径定理，相交弦定理【解析】【解答】解：连接OC、OD，过点O作OF⊥CD于点F．∵AB是⊙O的直径，C为弧AB的中点，∴∠AOC=∠BOC=90°（等弧所对的圆心角相等）；又∵O是圆心，OF⊥CD，∴CF=DF=CD，（垂径定理）；在Rt△OEC中，∵∠AEC=60°，∴∠OCE=30°（直角三角形的两个锐角互余）；∴在Rt△OCF中，CF=OC•cos30°；又AB=8，∴OC=4；∴CF=4×=2∴CD=2CF=4．故选D．【分析】连接OC、OD，过点O作OF⊥CD于点F．由等弧所对的圆心角相等知∠AOC=∠BOC=90°；根据垂径定理推知CF=DF=CD；然后根据直角三角形的特殊角的三角函数值求得CD=2CF=OC•cos30°．11.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点，AE=6，BE=2，CD=2，则∠AED的度数是（）A.30°B.60°C.45°D.36°【答案】C【考点】垂径定理，相交弦定理【解析】【解答】解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．∴DH=CH=CD（垂径定理）；∵CD=2，∴DH=．又∵AE=6，BE=2，∴AB=8，∴OA=OD=4（⊙O的半径）；∴OE=2；∴在Rt△ODH中，OH===（勾股定理）；在Rt△OEH中，sin∠OEH==，∴∠OEH=45°，即∠AED=45°．故选：C．【分析】连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．根据垂径定理求得DH=CH=CD=；然后根据已知条件“AE=6，BE=2”求得⊙O的直径，从而知⊙O的半径；最后利用勾股定理求得OH=1，再边角关系得到∠AED=45°．12.如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）A.6B.7C.8D.9【答案】D【考点】相交弦定理【解析】【解答】解：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB=PC•PD，∵PA=2，PC=CD=3，∴2PB=3×6解得：PB=9．故选：D．【分析】直接利用割线定理得出PA•PB=PC•PD，进而求出即可．13.如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP=3，BP=2，CP=1，则DP=（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【考点】相交弦定理【解析】【解答】解：由相交弦定理得：PA•PB=PC•PD，∴DP===6．故选D．【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．14.如图，⊙O的直径AB