任意角ppt课件(第一课时)-数学高一必修4第一章1.1.1人教A版

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角学习目标•1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角.•2.理解象限角的概念..•3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置.(重点)如图将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？【提示】有顺时针和逆时针两种旋转方向.新课导入(1)角的形成：角可以看成是绕着它的从一个位置到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图∠AOB中，表示顶点，表示始边，表示终边．一条射线端点旋转OOAOB知识1角的概念新知探究(3)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：①正角：按照而成的角．②负角：按照而成的角．③零角：当射线时，我们也把它看成一个角，叫做零角．逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有旋转知识2象限角把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角.1.其终边(除端点外)可能落在2.如果角的终边落在坐标轴上，旋转的角的大小是坐标轴上或四个象限内90°的整数倍.平面内任意一个角都可以通过移动，使角的与坐标原点重合，角的与x轴正半轴重合，这时角的在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．特别地，终边在坐标轴上，这个角不属于任何象限．顶点始边终边1.设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝}.α＋k·360°，k∈Z知识3终边相同的角2.终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.终边所在的位置角的集合x轴正半轴x轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}3.下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.α终边所在的象限角α的集合第一象限第二象限第三象限第四象限{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}{α|k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z}{α|k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z}{α|k·360°－90°αk·360°，k∈Z}类型1角的基本概念【例1】下列命题①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中不正确的序号为________.典例分析【分析】解答本题可根据角的大小特征，位置特征进行判断.【解析】①－330°角是第一象限角，但它是负角，所以①不正确.②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°＞120°，所以②不正确.③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确.④0°角是小于180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确.【答案】①②③④跟踪训练1：下列说法正确的是()A.锐角是第一象限角B.钝角比第三象限角小C.三角形的内角必为第一、二象限角D.小于90°的角都是锐角【解析】－100°是第三象限角，但－100°90°，故B错；90°角是直角三角形的内角，但它既不在第一象限，也不在第二象限，故C错；－30°小于90°，不是锐角，故D错.【答案】A类型2终边相同的角【例2】已知角α＝2010°(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ720°.【分析】先求出β，判断角α所在的象限，用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ.【解析】(1)由2010°除以360°，得商为5，余数为210°.∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.又β＝210°是第三象限角，∴α为第三象限角.(2)与2010°终边相同的角：k·360°＋2010°(k∈Z).令－360°≤k·360°＋2010°720°(k∈Z)，解得－6712≤k－3712(k∈Z).所以k＝－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.跟踪训练2图1－1－2如图，写出终边在直线y＝3x上的角的集合.【解】终边在y＝3x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}.于是，终边在直线y＝3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}.类型3象限角与区域角的表示【例3】如图1－1－3，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是()A.{α|k·360°＋30°αk·360°＋45°，k∈Z}B.{α|k·180°＋150°αk·180°＋225°，k∈Z}C.{α|k·360°＋150°αk·360°＋225°，k∈Z}D.{α|k·360°＋30°αk·180°＋45°，k∈Z}【分析】找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k·360°k∈Z适合题意的角的集合【解析】在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以在R上落在阴影部分角集合为{α|k·360°＋150°αk·360°＋225°，k∈Z}.【答案】C跟踪训练3写出下图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.【解】在－180°～180°内落在阴影部分角集合为大于－45°小于45°，所以在实数集R上落在阴影部分角集合为{α|－45°＋k·360°α45°＋k·360°，k∈Z}.【例4】已知α是第一象限角，求2α，α2，α3所在的象限.【分析】先写出终边落在第一象限的角，再表示出2α，α2，α3，根据k的取值得到结论.【解析】∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z.①2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°，k∈Z，则2α是第一或第二象限角，或是终边在y轴非负半轴上的角.②k·180°＜α2＜k·180°＋45°，k∈Z.当k为偶数时，α2为第一象限角，当k为奇数时，α2为第三象限角，∴α2为第一或第三象限角.③k·120°＜α3＜k·120°＋30°，k∈Z.当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜α3＜n·360°＋30°，n∈Z，∴α3是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜α3＜n·360°＋150°，n∈Z，∴α3是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜α3＜n·360°＋270°，n∈Z，∴α3是第三象限角；∴α3为第一或第二或第三象限角.总结：已知角α所在象限，应熟练掌握α2所在的象限.α第一象限第二象限第三象限第四象限α2第一或第三象限第二或第四象限区域如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42的分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略).熟记该图，解有关问题就会方便许多.1.理解任意角的概念要抓住四个要素：顶点、始边、终边和射线的旋转方向.2.象限角的确定依赖于角的终边位置的确定，要注意对表达式中的k进行分类讨论，以确定角的终边的位置.3.熟练掌握终边相同的角的公式及应用，明确象限角的概念与内涵是解题的依据.1.(2014·定西高一检测)－510°在第几象限()A.一B.二C.三D.四【解析】－510°＝－720°＋210°＝－720°＋180°＋30°，∴－510°在第三象限.【答案】C当堂检测2.下列各角中，与角330°的终边相同的角是()A.510°B.150°C.－150°D.－390°【解析】与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D.【答案】D3.将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________.【解析】－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.【答案】195°＋(－3)×360°4.如果θ为小于360°的正角，θ的4倍角的终边与θ的终边重合，求θ的值.【解】依题意4θ＝k·360°＋θ，且0°θ360°，∴θ＝k·120°.取k＝1或k＝2，∴θ＝120°或θ＝240°.5.若α是第三象限角，则180°－α是第几象限角？【解】∵α是第三象限角，∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z，－270°－k·360°＜－α＜－180°－k·360°，k∈Z，－90°－k·360°＜180°－α＜－k·360°，k∈Z.∴180°－α是第四象限角.