人教版九年级数学上册课件22.1.2二次函数的图像与性质ppt

基础回顾什么叫函数?在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数。x叫自变量，y叫应变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？二次函数变量之间的关系函数一次函数反比例函数y=kx+b(k≠0)正比例函数y=kx(k≠0)y=k/x(k≠0)节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？奥运赛场腾空的篮球正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为问题:y=6x2函数①②③有什么共同点?观察：y=6x2①n②23n221d③xxy2040202在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（3）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。注意：（2）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是任意实数。整式。a≠0.2（5）函数的右边是一个整式。二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数,a≠0)二次函数的特殊形式：当b＝0时，y＝ax2＋c当c＝0时，y＝ax2＋bx当b＝0，c＝0时，y＝ax21、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项（1）y=-x2+58x-112（2）y=πx22、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c（1）y=-3x2-x-1（3）y=x(1+x)（2）y=5x2-6例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。(1)y=3(x－1)²+1(2)y=x+(3)s=3－2t²(4)y=(x+3)²－x²(5)y=－x(6)v=8πr²1x__x²1__思考：2.二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？驶向胜利的彼岸联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a≠0(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y=ax2＋bx＋c中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0知识运用例1:下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1()(2)y=3x2（)(3)y=3x3+2x2()(4)y=2x2-2x+1()(5)y=x-2+x()(6)y=x2-x(1+x)()不是是不是不是是不是知识运用m2—2m-1=2m+1≠0∴m=3例2:m取何值时，函数y=(m+1)x+(m-3)x+m是二次函数？122mm解:由题意得一次函数y=kx+b(k≠0),其中包括正比例函数y=kx(k≠0),反比例函数y=(k≠0)，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。现在我们学习过的函数有:可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。xk？（3）它是正比例函数（2）它是一次函数？（1）它是二次函数？c满足什么条件时b,当a,c是常数)，b,c(其中a,bxax函数y20解：（1）a0b0,(2)a想一想0c0,b0,(3)a例2、y=（m+3）x（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是反比例函数？（3）m取什么值时，此函数是二次函数？m2-7解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=±时是正比例函数。22（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=±时是反比例函数。6（３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s与半径r之间的关系式.2.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.S=2πr2+2πr2即S=4πr2121nnm即nnm212123、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的有。Ay=ax2+bx+cBy2=x2-4x+1Cy=x2Dy=2+√x2+14.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是()Am,n是常数,且m≠0Bm,n是常数,且n≠0Cm,n是常数,且m≠nDm,n为任何实数BCC一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。xmym2xm（40-2x）m解：由题意得：Y=x(40-2x)即：Y=-2x2+40x(0x20)当x＝12m时，菜园的面积为：Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12＝192（m2）多边形的对角线数d与边数n有什么关系？问题2:由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作条对角线.n(n-3)因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数MN321nnd即n②nd23212在实践中感悟横看成岭侧成峰，远近高低各不同——变换角度分析问题若函数y=x2m+n－2xm-n+3是以x为自变量的二次函数，求m、n的值。①②③④⑤∵2m+n=2m-n=1∴m=1n=0∵∴2m+n=1m-n=2m=1n=-1∵∴2m+n=2m-n=2m=4/3n=-2/3∵∴2m+n=2m-n=0m=2/3n=-4/3∵∴2m+n=0m-n=2m=2/3n=2/31、一次函数的图像有何特征？一次函数的图像是一条。当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。2、反比例函数的图像有何特征？反比例函数的图像是，共有支，且关于对称。当时，图像在象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当时，图像在象限，在每个象限内y随x的增大而。直线双曲线两原点增大一、三二、四k0k0k0k03、画函数图像的基本步骤是：、、。列表描点连线1.y=ax2的函数图像2.y=ax2+k的函数图像3.y=a(x-h)2的函数图像4.y=a(x-h)2+k的函数图像5.y=ax2+bx+c的函数图像1、画函数y=x2的图像；观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：x……y=x2……9411049-3-2-10123xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2?2xy二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线y=x2，－33369二次函数的图象都是抛物线。一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c思考：这个二次函数图象有什么特征？（1）形状是开口向上的抛物线（2）图象关于y轴对称（3）有最低点，没有最高点y轴是抛物线y=x2的对称轴，抛物线y=x2与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点．－33369实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．思考：这个二次函数图象有什么特征？（1）形状是开口向上的抛物线（2）图象关于y轴对称（3）有最低点，没有最高点例1在同一直角坐标系中，画出函数的图象．222,21xyxy解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········212yx820.5084.520.54.522yx4.5820.5084.520.5－222464－48212yx22yx2yx函数的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？222,21xyxy相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是y轴不同点：a要越大，抛物线的开口越小．－222464－48212yx22yx2yx你画出的图象与图中相同吗？探究画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．2222,21,xyxyxyx···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········212yx22yx－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－22－2－4－64－4－8212yx22yx2yx对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？一般地，抛物线y=ax2的对称轴是_____，顶点是______．当a0时，抛物线的开口______，顶点是抛物线的最______点，a越大，抛物线的开口越_______；当a0时，抛物线的开口_______,顶点是抛物线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________．向下高大练习：函数的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是.2(2)yxy轴原点向上低小3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．y＝ax2向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。反馈测试1.抛物线y=4x2中的开口方向是，顶点坐标是，对称轴是.2.抛物线y=-14x2的开口方向是，顶点坐标是，对称轴是.3.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=.1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝2x2当x＝______时，y有最______值，其最______值是______。课前复习2、二次函数y=2x²、的图象与二次函数y=x²的图象有什么相同和不同？3.532.521.510.5-2-1122xy22xy221xy221xya＞0Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–12xy221xy22xya＜03、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．y＝ax2向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法来研究这个问题？画出函数y＝2x2和函数y＝2x2+1的图象，并加以比较（1）二次函数y=2x²＋1的图象与二次函数y=2x²的图象有什么关系？7654321-6-4-2246122xy22xyx…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2…4.520.500.524.5…y=2x2+1…5.531.511.535.5…（0，1）7654321-6-4-2246122xy22xyx…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2…4.520.500.524.5…y=2x2+1…5.531.511.535.5…（0，1）问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?2、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。7654321-6-4-2246122xy22xy1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。函数y＝2x2