全概率公式和贝叶斯公式的应用及推广-毕业论文

全概率公式和贝叶斯公式的应用及推广THEAPPLICATIONANDPROMOTIONOFTHETOTALPROBABILITYFORMULAANDBAYESIANFORMULA作者：xxxxx学校诚信声明全概率公式和贝叶斯公式的应用及推广摘要全概率公式与贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。本文着重讨论了对全概率公式和贝叶斯公式它们的推广及其准确运用，重在弄清楚事件间相互影响的次序,恰当地设出完备事件组,此外还结合了各类事例说明了全概率公式和贝叶斯公式在几何问题、产品检查、医疗诊断以及统计决策等方面的应用。关键词:全概率公式贝叶斯公式应用推广TheapplicationandpromotionofthetotalprobabilityformulaandbayesianformulaAbstractTotalprobabilityformulaandbayesianformulaareveryimportantformulaintheprobabilitytheory，whichisusedtocalculatetheprobabilityofmorecomplexevents,theyareessentiallytheintegrateduseoftheadditionformulaandthemultiplicationformula.ThispaperfocusesonthepromotionoftheaccurateuseofthetotalprobabilityformulaandBayesianformulaandemphasistoclarifytheinteractionbetweeneventsintheorder,andproperlysetupacompleteeventgroup.Moreover,thisarticlecombinesmanyexamplestoexplainthetotalprobabilityformulaandthebayesianformulaandtheirextendedtheoremapplicationincheckingproduct、medicaldiagnosisandstatisticaldecisionandsoon.Keywordstotalprobabilityformulabayesianformulaapplicationpromotion目录引言.........................................................................1第一章全概率公式的应用及推广.................................................21.1全概率公式...............................................................21.2全概率公式的应用........................................................31.2.1全概率公式在摸球模型中的应用.........................................31.2.2全概率公式在实际问题中的应用.........................................31.2.3全概率公式在几何类型问题中的应用.....................................31.3全概率公式的推广........................................................41.3.1全概率公式推广定理1.................................................41.3.2全概率公式推广定理2.................................................51.3.3全概率公式推广定理3.................................................6第二章贝叶斯公式的应用及推广.................................................82.1贝叶斯公式..............................................................82.2贝叶斯公式的应用........................................................82.2.1贝叶斯公式在市场问题中的应用.........................................82.2.2贝叶斯公式在医疗诊断中的应用.........................................92.2.3贝叶斯公式工厂产品检查中的应用......................................102.3贝叶斯公式推广.........................................................102.4贝叶斯公式推广的应用...................................................11第三章全概率公式和贝叶斯公式的综合应用......................................123.1全概率公式和贝叶斯公式的综合应用........................................12结论.........................................................................13致谢语.......................................................................14参考文献.....................................................................151引言全概率公式与贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科,起源于17世纪。发展到现在,已经深入到科学和社会的许多领域。从十七世纪到现在很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来,在大批概率统计工作者的不懈努力下,概率统计的理论更加完善,应用更加广泛,形成了众多分支,在现代数学中占有重要的地位.其中贝叶斯公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。它是在观察到事件B（具体看文中第二章）已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中生活中有广泛的应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因。目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析这门学科越来越显示其重要性。其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率，是进行统计决策的重要工具。概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征。利用数学方法，充分利用好全概率公式和贝叶斯公式及其推广形式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进对病人的对症施治。利用好全概率公式和贝叶斯公式可以用来解决投资、保险、工程等一系列不确定的问题中.两个概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，而这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具。2第一章全概率公式的应用及推广1.1全概率公式概率论的重要研究课题之一,是如何从已知简单事件的概率求出未知复杂事件的概率。对于一些复杂事件,有时不易直接求出它的概率,这时往往将它转化为若干个易于计算的简单事件的和事件,从这些简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率,全概率公式正好起到了这样作用。定理(全概率公式):设12n ,AAA为一列互不相容的事件,且1niiA，()iPA0(i1,2,,n),则对任一事件B能且只能与事件12,nAAA……中的一个同时发生,都有1 ()()(|)niiiPBPAPBA。证明：由于事件B能且只能与互不相容的n个事件12,nAAA……中的一个同时发生,即1niiBBA,其中12n,BABABA……显然也互不相容,则由加法和乘法公式得:12()()nPBPBABABA……12()()()nPBAPBAPBA……1122n()(|)()(|)++()(|)nPAPBAPAPBAPAPBA……1()(|)niiiPAPBA若我们从问题的条件中可以找到一个事件组12n,AAA,,(即完备事件组),而该事件组当且仅当其中之一发生时,事件B才可能发生,并能求出它们的概率i()PA,同时可以求得在事件组12n,,,AAA发生的条件下事件B发生的条件概率i(|)PBA(i1,2,,n),即可利用全概率公式求得()PB，全概率公式在实际生活中有广泛的应用，从下面几个例子中可以加深对它的了解。31.2全概率公式的应用1.2.1全概率公式在摸球模型中的应用例1甲盒中有a个白球，b个黑球，乙盒中有c个白球，d个黑球，a、b、c、d均为整数，从甲盒中任意取一球放入乙盒，然后再从乙盒中任意取一球，问从乙盒中取出的球是白球的概率是多少?解：设{}A从甲盒取出的是白球，{}B从乙盒取出的是白球()+aPAab()a+bbPA1(|)c+d+1cPBA(|)c+d+1cPBA1()(|)()(|)()c+11()(c+1)cacbacabcPBPBAPAPBAPAdabcdababd1.2.2全概念公式在实际问题中的应用例2市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。解：设{B买到一件次品}1A={买到一件甲厂的产品}2A={买到一件乙场的产品｝3A={买到一件丙厂的产品}112233()(|)()(|)()(|)()PBPBAPAPBAPAPBAPA1110.020.010.030.02254421.2.3全概率公式在几何类型问题中的应用例3如图1，平面上的随机点落入如图所示的四个封闭的矩形区域(1,2,3,4)iBi的概率分别为4.0,3.0,2.0,1.0，当随机点落入区域A时，此随机点在A中服从均匀分布，求平面上随机点落入圆4}1|),{(22yxyxA内的概率。（其中图中四个封闭矩形构成的大矩形的面积为8）解：设{}AA平面上随机点落入区域，{}iiBB平面上随机点落入区域，显然可知()ijBBij，由题意可知1()0.1PB，2()0.2PB，3()0.3PB，4()0.4PB，(|)(1,2,3,4)8iPABi，所以利用全概率公式可得41()()(|)8iiiPAPBPAB1.3全概率公式的推广1.3.1全概率公式推广定理1设12,nAAA,是一列事件，添加12,,,mCCC后，构成样本空间的一个分割,0,1,2,iPAin则对任一事件B，当|0,1,2,,kPBCkm时，有1|niiiPBPAPBA.证明：121nimiBBABBCBCBC