高三数学一轮-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)9.7离散型随机变量及其分布列课件-新人教A

[知识能否忆起]一、离散型随机变量将随机现象中试验(或观测)的都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．常用大写字母表示．所有取值可以的随机变量称为离散型随机变量．一一列出每一个可能的结果X、Y二、离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取ai(i＝1,2，…)的概率为Pi(i＝1,2，…)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，则表X＝aia1a2…P(X＝ai)…p1p2称为离散型随机变量X的分布列．2．离散型随机变量分布列的性质：(1)pi0(i＝1,2，…)；(2)p1＋p2＋…＝.1三、超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．CkMCn－kN－MCnN如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设随机变量X的分布列如下：则p为()A.16B.13C.14D.112X1234P161316p解析：由16＋13＋16＋p＝1，得p＝13.答案：B2．袋中有大小相同的6只钢球，分别标有1,2,3,4,5,6六个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()A．36B．12C．9D．8解析：X的可能取值为3,4,5,6,7,8,9,10,11共9种．答案：C3．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是()A．X＝4B．X＝5C．X＝6D．X≤5解析：由条件知“放回5个红球”事件对应的X为6.答案：C4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X4)＝0.3，那么n＝________.解析：1n×3＝0.3，则n＝10.答案：105．(教材习题改编)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布为：X012Pabc则a＝________，b＝________，c＝________.解析：P(X＝0)＝1C25＝110；P(X＝1)＝C13C12C25＝35；P(X＝2)＝C23C25＝310.答案：11035310对随机变量的理解(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[例1](2012·岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：离散型随机变量分布列的性质X－101P1－2qq212则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22[自主解答]由分布列的性质知1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1，所以q＝1－22.[答案]C要充分注意到分布列的两条重要性质：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性．1．(2012·广州模拟)已知离散型随机变量X的分布列为：X123…nPknknkn…kn则k的值为()A.12B．1C．2D．3解析：由kn＋kn＋…＋kn＝1，解得k＝1.答案：B分布列的求法[例2](2012·福建高考改编)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．[自主解答](1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为：X1123PX2的分布列为：X21.82.9P125350910110910求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后通过概率知识求出X取各个值对应的概率值，注意利用分布列的性质验证．2．某旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条，求选择甲线路旅游团数的分布列．解：设选择甲线路旅游团数为X，则X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝3343＝2764，P(X＝1)＝C13·3243＝2764，P(X＝2)＝C23·343＝964，P(X＝3)＝C3343＝164.∴X的分布列为X0123P27642764964164超几何分布[例3](2012·浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．[自主解答](1)由题意得X可取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C39＝542；P(X＝4)＝C14·C25C39＝1021；P(X＝5)＝C24·C15C39＝514；P(X＝6)＝C34C39＝121，所以X的分布列为：X3456P(2)由(1)知E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝133.5421021514121在本例条件下，记取出的3个球中白球的个数为Y，求Y的分布列．解：由条件知Y＝0,1,2,3，则P(Y＝0)＝C35C39＝542；P(Y＝1)＝C14·C25C39＝1021；P(Y＝2)＝C24·C15C39＝514；P(Y＝3)＝C34·C05C39＝121.所以Y的分布列为：Y0123P5421021514121对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．3．(2012·乌鲁木齐)某航空公司进行空乘人员的招聘，记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高，数据用茎叶图表示如下(单位：cm)．应聘者获知：男性身高在区间[174,182]，女性身高在区间[164,172]的才能进入招聘的下一环节．(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数；(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人，记X为抽取到的男生人数，求X的分布列及期望E(X)．解：(1)6名男应征者的平均身高是176＋173＋178＋186＋180＋1936＝181cm，9名女应征者身高的中位数为168cm；(2)能进入下一环节的男生有3人，女生有4人．故X的所有可能取值是0,1,2.则P(X＝0)＝C24C27＝27；P(X＝1)＝C14C13C27＝47；P(X＝2)＝C23C27＝17.所以X的分布列为：X012P274717故X的期望E(X)＝0×27＋1×47＋2×17＝67.[典例](2012·广州模拟)某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制．若设“社区服务”得分为X分，“居民素质”得分为Y分，统计结果如下表：社区数量居民素质1分2分3分4分5分社区服务1分131012分107513分210934分ab6015分00113YX(1)若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分(即X≥3，且Y≥3)的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；(2)若在50个社区中随机选取一个社区，求这个社区的“居民素质”得分Y的均值(即数学期望)为16750，求a，b的值．[解](1)从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分(即X≥3，且Y≥3)的社区数量为24个．设“这个社区能进入第二轮评比”为事件A，则P(A)＝2450＝1225，所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225.(2)由表可知“居民素质”得分Y的所有可能取值为1、2、3、4、5，其对应的社区个数分别为(a＋4)、(b＋4)、15、15、9，所以P(Y＝1)＝a＋450；P(Y＝2)＝b＋450；P(Y＝3)＝1550；P(Y＝4)＝1550；P(Y＝5)＝950.所以“居民素质”得分Y的分布列为：Y12345Pa＋450b＋450310310950因为“居民素质”得分Y的均值(数学期望)为16750，所以1×a＋450＋2×b＋450＋3×1550＋4×1550＋5×950＝16750，即a＋2b＝5.因为社区总数为50个，所以a＋b＋47＝50，解得a＝1，b＝2.[题后悟道]1.根据分布列及期望值构建方程，从而求出a、b的值，体现了方程思想的运用．2．本题的易误点：一是Y的分布列不准确；二是由期望值建立方程错误．针对训练袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球次数X的分布列．解：(1)设袋中原有n个白球，由题意知17＝C2nC27＝nn－127×62＝nn－17×6，所以n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)．即袋中原有3个白球．(2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4,5.P(X＝1)＝37；P(X＝2)＝4×37×6＝27；P(X＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P(X＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P(X＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以，取球次数X的分布列为：X12345P37276353351351．(2012·福州模拟)某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．教师备选题（给有能力的学生加餐）解题训练要高效见“课时跟踪检测（六十四）”(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列。解：(1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2.P(Y＝0)＝C230C240＝2952；P(Y＝1)＝C110C130C240＝513；P(Y＝2)＝C210C240＝352.所以Y的分布列为Y012P29525133522．(2012·长春模拟)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10,15)50.25[15,20)12n[20,25)mp[25,30)10.05合计M1(1)求出表中M、p及图中a的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；(3)学校决定对参加社区服务的