两角差的余弦公式第一课时课件-数学高一必修4第三章三角恒等变换3.1.1人教A版

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.(难点)2.能用两角差的余弦公式化简、求值.(重点)两角差的余弦公式【问题导思】1.单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？OA→与OB→的夹角是多少？【提示】A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ).OA→与OB→的夹角是α－β.2.你能用哪几种方法计算OA→·OB→的数量积？【提示】①OA→·OB→＝|OA→||OB→|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA→·OB→＝cosαcosβ＋sinαsinβ.3.根据上面的计算可以得出什么结论？【提示】cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.两角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβCα－β运用公式求值求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；(2)cos7°－sin15°sin8°cos8°.【思路探究】(1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解.(2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决.【自主解答】(1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.(2)原式＝cos15°－8°－sin15°sin8°cos8°＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°cos8°＝cos15°cos8°cos8°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.1.两角差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.2.在两角差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.求值：cos75°cos15°－sin255°sin15°.【解】cos75°cos15°－sin255°sin15°＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.给值求值设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2的值.【思路探究】由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦.只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围.用两角和与差的三角函数公式展开即得结论.【自主解答】∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2.又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23.∴sin(α－β2)＝1－cos2α－β2＝459，cos(α2－β)＝1－sin2α2－β＝53.∴cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝－19×53＋459×23＝7527.1.利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解.2.在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等.α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cosα的值.【解】∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2，∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2，∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.给值求角已知α，β均为锐角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，求角β的值.【思路探究】解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值.再由β＝(α＋β)－α求出cosα，从而可以根据β的范围求出β的值.【自主解答】∵0＜α＜π2，cosα＝17.∴sinα＝1－cos2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sinα，∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1114)×17＋5314×437＝12.又∵0＜β＜π2，∴β＝π3.解答给值求角问题的步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角所在的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内.已知sinα＝16，cosβ＝13，且α，β均为锐角，求cos(α-β)的值.【解】∵sinα＝16，cosβ＝13，且α，β均为锐角，∴cosα＝1－sin2α＝1－162＝356，sinβ＝1－cos2β＝1－132＝223.∴cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ＝356×13+16×223＝352218.对公式C(α－β)的理解：（1）α，β是任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开.因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可以把α，β视为一个“代号”，将公式记作cos(△－□)＝cos△cos□＋sin△sin□.(2)公式C(α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦.②把所得的积相加.1.(2014·天水高一检测)cos15°＝()A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24【解析】cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24，故选D.【答案】D2.(2014·乐清高一检测)化简sin(x＋y)sin(x－y)+cos(x＋y)cos(x－y)的结果为()A.sin2xB.cos2yC.－cos2yD.－sin2x【解析】原式＝cos[(x＋y)-(x－y)]＝cos2y，故选B.【答案】B3.(2014·青岛高一检测)已知sinθ＝－513，且θ∈π，32π，那么cosθ－π4＝________.【解析】∵sinθ＝－513且θ∈π，32π，∴cosθ＝－1213，∴cosθ－π4＝cosθcosπ4＋sinθ·sinπ4＝22×－513－1213＝－17226.【答案】－172264.已知α，β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β的值.【解】∵cosβ＝1010，sinα＝55，α，β为锐角，∴sinβ＝31010，cosα＝255.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又∵sinα＜sinβ，∴α＜β.∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.