2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第十章-第4讲-几何证明选讲

第4讲几何证明选讲1．了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理．2．会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．3．会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)．5．几何证明选讲考纲要求(5)～(8)略．1．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例．推论1：平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．2．射影定理的结论直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．BD·DC在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则AB2＝BD·BC；AC2＝CD·CB；AD2＝______________.3．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理：①预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．②判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似．④判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．⑤判定定理4：如果两个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么它们相似．(2)相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的________．平方4．圆内接四边形的性质与判定(1)圆内接四边形的对角互补．(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(3)如果四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.5．直线与圆一半(1)圆周角定理、圆心角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的____．圆心角的度数等于它所对弧的度数．(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(3)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(4)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．10图10-4-1图10-4-22．如图10-4-2，DB，DC是⊙O的两条切线，点A是圆上一点．已知∠D＝46°，则∠BAC＝________.67°1．如图10­4­1，圆O上一点C在直径AB上的射影为点D，且AD＝2，AC＝25，则AB＝________.3．(2014年广东肇庆二模)如图10-4-3，△ABC的外角平分线AD交外接圆于点D，BD＝4，则CD＝________.4解析：∵A，B，C，D共圆，∴∠DAE＝∠DCB.又∵CD＝CD，∴∠DAC＝∠DBC.又∵∠DAE＝∠DAC，∴∠DBC＝∠DCB.∴CD＝BD＝4.图10-4-44．如图10­4­4，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝2a3，∠OAP＝30°，则CP＝______.98a考点1相似三角形例1：(1)(2014年广东)如图10-4-5，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则△CDF的周长△AEF的周长＝____________.图10-4-5答案：3解析：在平行四边形ABCD中，AB綉CD，则△CDF∽△AEF.由于EB＝2AE，所以AE＝13AB＝13CD，即CDAE＝3.故△CDF的周长△AEF的周长＝CDAE＝3.(2)如图10-4-6，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．图10-4-6解析：延长AD，BC，交于点P.∵CDEF＝23，∴S△PCDS△PEF＝49.∵CDAB＝24，∴S△PCDS△PAB＝416.∴S梯形ABFES梯形EFCD＝75.答案：75【规律方法】解本题第(2)小题的关键在于延长AD，BC，交点为P，从而将我们不太熟悉的梯形转化为三角形来解决，反复运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方.证明三角形相似的主要方法：①两角相等；②两边对应成比例，且夹角相等；③三边对应成比例.【互动探究】1．(2013年陕西)如图10-4-7，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.图10-4-7解析：∵BC∥PE，∴∠A＝∠C＝∠PED，△PDE∽△PEA.有PEPA＝PDPE⇒PE2＝PA·PD⇒PE2＝3×2＝6⇒PE＝6.6考点2与圆有关的角例2：如图10-4-8，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线并交AE于点F、交AB于D点，求∠ADF的大小．图10-4-8思维点拨：根据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及三角形内角和定理等通过角的关系求解．解：设∠EAC＝α，根据弦切角定理，∠ABE＝α.根据三角形外角定理，∠AEC＝90°＋α.根据三角形内角和定理，∠ACE＝90°－2α.由于CD是∠ACB的内角平分线，所以∠FCE＝45°－α.再根据三角形内角和定理，∠CFE＝180°－(90°＋α)－(45°－α)＝45°.根据对顶角定理，∠AFD＝45°.由于∠DAF＝90°，所以∠ADF＝45°.【规律方法】(1)等弦或等弧所对的圆周角相等，所对的圆心角相等，可进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(圆心角)所对的弧相等，可进行弧(或弦)的等量代换．(2)本题的涉及很独到，试题涉及成动态的，即点C是可变的，在这个动态中求解其中的一个不变量．解决这类试题要善于抓住主要的变化关系，如本题中主要的变量就是∠AEC，抓住这个变量后，其余的角可以使用这个变量进行表达，通过各个角的关系证明求解的目标与这个变量没有关系．【互动探究】2．如图10-4-9，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是______.图10-4-9答案：99°解析：如图D43，连接OB，OC，AC，根据弦切角定理，得∠EBC＝∠BAC，∠CAD＝∠DCF，可得∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝12(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.图D433．(2012年广东广州二模)如图10-4-10，⊙O的直径AB＝6，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC.若PC＝3，则∠CPA＝______.30°图10-4-10解析：PC2＝PB·PA⇒27＝PB·(PB＋6)⇒PB2＋6PB－27＝0，得PB＝3.连接OC，在Rt△OPC中，OC＝3，OP＝6，则∠CPA＝30°.3考点3与圆有关的比例线段例3：(2014年新课标Ⅱ)如图10-4-11，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.图10-4-11证明：(1)如图10-4-12，连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD.图10-4-12因此BE＝EC.(2)由切割线定理，得PA2＝PB·PC.因为PC＝2PA，所以PA＝2BP.所以PD＝2PB，所以BD＝PB.所以BD·DC＝PB·2PB.由相交弦定理，得AD·DE＝BD·DC.所以AD·DE＝2PB2.【规律方法】相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分.在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到圆的两条割线就要想到割线定理；见到圆的切线和割线就要想到切割线定理.【互动探究】4．(2012年广东)如图10-4-113，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝_______.图10-4-13mn解析：∠PBA＝∠DBA＝∠ACB，∠BAD＝∠CAB⇒△BAD∽△CAB，得ABAC＝ADAB⇒AB2＝AC×AD＝mn⇒AB＝mn.●易错、易混、易漏●⊙审题不清造成漏解例题：过不在⊙O上的一点A作直线交⊙O于B，C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径等于________．正解：当点A在圆外时，由割线定理，得AB·AC＝64＝(OA＋r)(OA－r)＝100－r2，r2＝36，r＝6；当点A在圆内时，根据相交弦定理，有AB·AC＝64＝(OA＋r)(r－OA)＝r2－100，r2＝164，r＝241.答案：241或6【失误与防范】点A不在⊙O上，则点A有可能在圆外，也有可能在圆内，对于没有给出图形的问题要认真审题，并想清楚各种可能，本题很容易思维定势地认为点A在圆外而出错.