2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第九章-第5讲-离散型随机变量及其分布列

第5讲离散型随机变量及其分布列1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.1.随机变量(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η…表示.(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.2.条件概率及其性质(1)条件概率的定义：A发生的条件下，事件B发生的概率.(2)条件概率的求法：求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝PABPA为事件型概率公式，即P(B|A)＝nABnA.(3)条件概率的性质：01①条件概率具有一般概率的性质，即____≤P(B|A)≤____；②若B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).3.事件的相互独立性P(A)P(B)(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝__________，则称事件A与事件B相互独立.(2)若事件A与事件B相互独立，则A与B、A与B、A－与B也都相互独立.4.离散型随机变量的分布列称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列.一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnX01P1－pp5.离散型随机变量分布列的性质(1)pi≥0(i＝1,2，…，n).(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.6.常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布：如果随机变量X的分布列为：其中0p1，称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率.(2)超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰k＝0,1,2，…，m(其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)，称随机变量X服从超几何分布，其分布列如下表：有X件次品，则随机事件X＝k发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN(3)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复(k＝0,1,2,…,n).此时称随机变量X服从二项分布.记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.其分布列如下表：试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－kX01…k…nPC0np0(1－p)nC1np1(1－p)n－1…Cknpk(1－p)n－k…Cnnpn(1－p)01.下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()CDC2.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a13i，i＝1,2,3，则a的值为()A.1B.913C.1113D.27133.某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球5次，恰好投进3个球的概率为()A.34B.58C.516D.532ξ678910P0.10.20.25x0.154.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：0.7此射手“射击一次命中环数不小于8环”的概率为______.考点1离散型随机变量的分布列例1：(2014年广东珠海二模)已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲甲、乙二人准备进行三局比赛.(1)求在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率；(2)用ξ表示三局比赛中甲获胜的局数，求ξ的分布列.获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，且各局比赛互不影响.现在解：(1)设事件A表示“在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局”，则P(A)＝35×35×25＝18125.(2)方法一：由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C03×25×25×25＝8125，P(ξ＝1)＝C13×35×25×25＝36125，P(ξ＝2)＝C23×35×35×25＝54125，P(ξ＝3)＝C33×35×35×35＝27125.则ξ的分布列为：ξ0123P8125361255412527125方法二：由题意知，ξ～B3，35，则P(ξ＝k)＝Ck335k·253－k(k＝0,1,2,3).则ξ的分布列为：ξ0123P8125361255412527125【规律方法】离散型随机变量的分布列的求法：①写出X的所有可能取值注意准确理解X的含义，以免失误；②利用概率知识古典概型或相互独立事件的概率求出X取各值的概率；③列表并检验，写出分布列.【互动探究】1.(2013年山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分.求乙队得分X的分布列.率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛解：(1)记“甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜”分别为事件A1，A2，A3.由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝233＝827，P(A2)＝C232321－23×23＝827，P(A3)＝C242321－232×12＝427.所以甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率分别是827，827，427.(2)设“乙队以3∶2获胜”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性，得P(A4)＝C241－232232×1－12＝427.P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝1627，P(X＝1)＝P(A3)＝427，故X的分布列为：P(X＝2)＝P(A4)＝427，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝19.X0123P162742742719考点2超几何分布的应用例2：2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所.交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就询问驾驶人员的省籍一次，询问结果如图9-5-1：图9-5-1(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数ξ的分布列.解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100(名)，四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40(名).设四川籍的驾驶人员应抽取x名，依题意，得5100＝x40，解得x＝2，即四川籍的应抽取2名.(3)ξ的所有可能取值为0,1,2.ξ的分布列为：P(ξ＝0)＝C25C27＝1021，P(ξ＝1)＝C12C15C27＝1021，P(ξ＝2)＝C22C27＝121.ξ012P10211021121【规律方法】在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率PX＝m，从而列出X的分布列.【互动探究】2.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.(1)采取放回抽样方式，从中摸出2个球，求2个球恰好颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中摸出2个球，求摸得白球的个数的分布列.解：(1)采取放回抽样方式，从中摸出2个球，2球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.因此它的概率是：p＝25×35＋35×25＝1225.(2)设摸得白球的个数为ξ，则ξ＝0,1,2.P(ξ＝0)＝C23C25＝310，P(ξ＝1)＝C12·C13C25＝35，P(ξ＝2)＝C22C25＝110.ξ的分布列为：ξ012P31035110考点3二项分布的应用例3：(2014年上海金山一模)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区2013年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2.5(微克/立方米)频数频率第一组(0,15]40.1第二组(15,30]120.3第三组(30,45]80.2第四组(45,60]80.2第五组(60,75]40.1第六组(75,90)40.1(1)请你根据上表的数据统计估计该样本的众数和中位数(不必写出计算过程)；(2)求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？并说明理由；(3)将频率视为概率，对于2013年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ).解：(1)众数约为22.5，中位数约为37.5.(2)去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1＋22.5×0.3＋37.5×0.2＋52.5×0.2＋67.5×0.1＋82.5×0.1＝40.5(微克/立方米).因为40.535，所以2013年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则由表，得P(A)＝40－440＝910.随机变量ξ的可能取值为0,1,2，且ξ～B2，910.所以P(ξ＝k)＝Ck2910k1－9102－k(k＝0,1,2).所以变量ξ的分布列为：ξ012P11001810081100E(ξ)＝0×1100＋1×18100＋2×81100＝1.8，或E(ξ)＝np＝2×910＝1.8.【规律方法】(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否必居其一；二是重复性，即试验是否独立重复进行了n次.(2)二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.【互动探究】3.一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分.(1)若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；(2)若从袋子里每次取出1个球，看清颜色后放回，连续取3次，求得分ξ的概率分布列.解：(1)设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则P(A)＝C12C23C35＝35.(2)由题意，ξ的可能取值为3,4,5,6.因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为25，取到黑球的概率为35.P(ξ＝3)＝C33353＝27125，P(ξ＝4)＝C23352·25＝54125，P(ξ＝