2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第九章-第4讲-古典概型与几何概型

第4讲古典概型与几何概型1.古典概型.(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.2.随机数与几何概型.(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性______.相等3.古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出模型即为古典概型.如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝_________.现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n.该概率mn4.几何概型长度如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_______(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.5.几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积区域的全部结果所构成的区域长度面积或体积.6.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.注意：①几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关；②求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.1.(2013年江西)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是()C2.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，则甲被选中的概率为()CA.23B.12C.13D.16A.12B.13C.23D.34解析：基本事件总数为3种，甲被选中有2种，则p＝23.故选C.3.(2013年福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－10”发生的概率为________.23解析：这是对几何概型的考查.事件“3a－10”发生的概率可转化为长度之比，则a13在0～1中对应的长度为23，故概率为23.4.如图9-4-1的矩形，长为5，宽为2.在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗.则我们可以估计出阴影部分的面积为_______.图9-4-1235考点1古典概型例1：(1)(2014年江西，人教版必修3P127例3)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A.118B.19C.16D.112解析：掷两颗均匀的骰子，点数的所有可能情况有6×6＝36(种)，其中两颗骰子点数之和为5的事件有(1,4)，(4,1)，(2,3)，答案：B(3,2)，共4种，因此所求概率为436＝19.答案：C(2)(2014年湖北)随机投掷两枚均匀的骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为p1，点数之和大于5的概率为p2，点数之和为偶数的概率为p3，则()A.p1p2p3B.p2p1p3C.p1p3p2D.p3p1p2解析：依题意，p1＝1036，p2＝1－1036＝2636，p3＝12，所以p1p3p2.故选C.【规律方法】本题是考查古典概型，利用公式PA＝.古典概型必须明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的实验结果数n必须是有限个；②出现的所有不同的试验结果数m其可能性大小必须是相同的.解决这类问题的关键是列举做到不重不漏.mn【互动探究】1.(2014年四川)一个盒子里装有3张卡片，分别标记有数字1,2,3，这3张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.解：(1)由题意，(a，b，c)的所有可能有3×3×3＝27(种).设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)＝327＝19.因此“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B－包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－327＝89.因此“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.考点2几何概型例2：(1)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积不小于S3的概率是()A.23B.13C.34D.14解析：取AB的三等分点P，如图D49，如果在线段BP上图D49取点，△PBC的面积小于S3；如果在线段AP上取点，△PBC的面积不小于S3，所以所求概率为p＝APAB＝23.答案：A(2)向面积为S的△ABC内任投一点，则PPBC的面积小于S2的概率为________.解析：取AB，AC的中点E，F，如图D50，如果点P在线段EF上，△PBC的面积等于S2；如果点P在线段EF上方(即△AEF内)，△PBC的面积大于S2；如果点P在线段EF下方(即四边形EFCB内)，△PBC的面积小于S2.所以所求概率为p＝＝34.图D50答案：34【规律方法】应用几何概型求概率的步骤：①把每一次试验当做一个事件，看事件是否是等可能的且事件的个数是否是无限个，若是则考虑用几何概型；②将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量；,③将几何概型转化为长度、面积、体积之比，应用几何概型的概率公式求概率.【互动探究】2.(2014年辽宁)若将一个质点随机投入如图9-4-2所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图9-4-2A.π2B.π4C.π6D.π8答案：B解析：质点落在以AB为直径的半圆内的概率p＝12×π×121×2＝π4.考点3两种概型与其他知识的综合运用例3：甲、乙两人约定上午9时至12时在某地时见面，并约定任何一个人先到之后等另一个人不超过一个小时，一小时之内若对方不来，则离去.如果他们两人在9时到12时之间的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，求他们见到面的概率.思维点拨：(1)考虑甲、乙两人分别到达某处的时间.在平面直角坐标系内分别用x轴、y轴表示甲、乙到达约会地时的时间，用0时到3时表示9时至12时的时间段，则试验发生包含的条件是{(x，y)|0x3,0y3}.(2)两人能会面的时间必须满足|x－y|≤1.这就将问题化归为几何概型问题.解：设9时后过了x小时甲到达，9时后过了y小时乙到达，取点Q(x，y)，则0x3,0y3.两人见到面的充要条件是|x－y|1.如图9-4-3，作出两部分对应图形的区域，得所求概率是图9-4-3【规律方法】将随机事件转化为面积之比时，要注意总的基本事件和所求事件分别表示的区域.p＝32－2×12×2232＝59.【互动探究】3.(2014年重庆，由人教版必修3P137例2改编)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_______.(用数字作答)解析：用x表示小王到校的时间，30≤x≤50，用y表示小张到校的时间，30≤y≤50，则所有可能的结果对应如图D51所示的直角坐标系中的正方形ABCD区域，小张比小王至少早5分钟到校，即x－y≥5，所对应的区域为图D51△BEF.所以p＝S△BEFS正方形ABCD＝12×15×1520×20＝932.答案：932●易错、易混、易漏●⊙几何概型中容易混淆几何量的比例题：(1)在直角三角形ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，则使|AM||AC|的概率为()A.13B.16C.2－32D.34正解：如图9-4-4，取AD＝AC，∠A＝30°，此时∠ACD＝75°，则∠BCD＝15°.欲使|AM||AC|，CM必须在∠BCD内，其图9-4-4概率为15°90°＝16.答案：B(2)在直角三角形ABC中，∠A＝30°，在斜边AB上任取一点M，则使|AM||AC|的概率为()答案：CA.13B.16C.2－32D.34正解：如图9­4­4，AD＝AC，∠A＝30°，欲使|AM||AC|，点M必须在线段BD内.设BC＝x，则AB＝2x，AD＝AC＝3x，BD＝(2－3)x.所求概率为2－32.【失误与防范】请注意两题的区别“过直角顶点C作射线CM交线段AB于M”与“在斜边AB上任取一点M”，前者CM在直角内等可能，结果应该为角度的比；后者M为斜边AB上任一点，结果应该为斜边AB上的长度比.