2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第五章-第2讲-等差数列

第2讲等差数列1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母____表示．d2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝____________或Sn＝na1＋nn－12d.5．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．na1＋an26．等差数列的常用性质(1)数列{an}是等差数列，则数列{an＋p}，{pan}(p是常数)都是等差数列．(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列．(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Snn是等差数列．(5)等差数列的单调性：若公差d0，则数列单调递增；若公差d0，则数列单调递减；若公差d＝0，则数列为常数列．7．等差数列的最值在等差数列{an}中，若a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最____值．小1．已知在等差数列{an}中,a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝(A．15B．30C．312．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，A．13B．35C．493．在等差数列{an}中，若S11＝220，则a6＝______.4．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝π4，则tan(a2＋a12)＝________.则S7＝()C)D．64AD．632033考点1等差数列的基本运算例1：(2013年福建)已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范围．思维点拨：由1，a1，a3成等比数列，得a21＝1×a3，解一元二次方程；将S5a1a9表示成含a1的表达式，解一元二次不等式．解：(1)∵数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，∴a3＝a1＋2d，a21＝1×a3＝a1＋2,即a21－a1－2＝0.解得a1＝－1或a1＝2.(2)∵数列{an}的公差d＝1，且S5a1a9,∴S5＝5a1＋5×42×1＝5a1＋10a21＋8a1，即a21＋3a1－100.解得－5a12.【规律方法】在解决等差数列问题时，已知a1，an，d，n，Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得a1和d是解决等差数列{an}所有运算的基本思想和方法.本题主要考查等差、等比数列最基本的公式，解最基本的一元二次方程及一元二次不等式.【互动探究】1．(贵州遵义航天高级中学2015届高三上学期第五次模拟)在等差数列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，则a5的值为()A．2C.4B．3D．5解析：在等差数列{an}中，因为a1＋3a3＋a15＝10，所以5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝10.所以a5＝2.故选A.A考点2求等差数列的前n项和例2：(2014年福建)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则q3＝a5a2＝813＝27.∴q＝3.又a2＝a1q＝3，∴a1＝1.因此an＝3n－1.(2)∵bn＝log3an＝n－1，∴数列{bn}为等差数列．∴Sn＝0＋1＋2＋3＋…＋n－1＝0＋n－1n2＝n2－n2.【规律方法】设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则其前n项和Sn＝1()2nnaa或Sn＝na1＋(1)2nnd.【互动探究】2．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则该数列的前n项和Sn＝__________.解析：由题意，得S6＝6a1＋6×52d＝23，S9＝9a1＋9×82d＝57.解得a1＝－13，d＝53.∴Sn＝56n2－76n.56n2－76n3．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取最大值，求d的取值范围．解：∵当且仅当n＝8时，Sn取最大值，∴a80，a90，即7＋7d0，7＋8d0.解得－1d－78.考点3等差数列性质的应用例3：(1)(2014年北京)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝______时，{an}的前n项和最大．解析：∵{an}为等差数列，∴a7＋a9＝2a8.∴a7＋a8＋a9＝3a80.∴a80.∵a7＋a10＝a8＋a90，∴a9－a80.∴数列{an}的前8项和最大，即n＝8.答案：8(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．43D．27解析：方法一：设{an}的公差为d.∵S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝3(a1＋d)＝9，∴a1＋d＝3.S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝3(a3＋a4)＝3(2a1＋5d)＝36.∴2a1＋5d＝12.由a1＋d＝3，2a1＋5d＝12，解得a1＝1，d＝2.∴a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝45.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝45.方法二：由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)．答案：B【规律方法】1利用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋qm，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq”.2等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列.3可以把an与Sn结合起来，给计算带来很大便利，是解决等差数列的有效方法.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但也要用好“基本量法”，运用方程的思想“知三求二”.【互动探究】4．(2014年重庆)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()BA．5B．8C．10D．14解析：方法一：a1＝2，a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，d＝1，则a7＝a1＋6d＝8.方法二：a1＝2，a3＋a5＝10＝a1＋a7，∴a7＝8.30，则a2＋a3＝________.155．(2013年上海)在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝解析：在等差数列{an}中，a2＋a3＝a1＋a4＝302＝15.●思想与方法●⊙利用函数的思想求等差数列的最值例题：在等差数列{an}中，若a1＝25，S17＝S9，则Sn的最大值为________．思维点拨：利用前n项和公式和二次函数性质求解．解析：方法一：由S17＝S9，得25×17＋172(17－1)d＝25×9＋92(9－1)d.解得d＝－2.∴Sn＝25n＋n2(n－1)·(－2)＝－(n－13)2＋169.由二次函数性质知，当n＝13时，Sn有最大值169.方法二：先求出d＝－2，∵a1＝250，由an＝25－2n－1≥0，an＋1＝25－2n0，得n≤1312，n1212.∴当n＝13时，Sn有最大值169.S13＝25×13＋1313－12×(－2)＝169.方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵d＝－20，a10，∴a130，a140.故当n＝13时，Sn有最大值169.方法四：由d＝－2，得Sn的图象如图5-2-1(图象上一些孤立点)．图5-2-1∴当n＝13时，Sn取得最大值169.由S17＝S9知，图象的对称轴为n＝9＋172＝13，答案：169【规律方法】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用等差数列的性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质或图象求最值．