2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第2讲-两直线的位置关系

第2讲两直线的位置关系1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线互相平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线之间的距离．一般式斜截式直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2相交k1≠k21．两条直线的位置关系A1A2≠B1B2A1A2＝B1B2＝C1C2一般式斜截式平行____________________k1＝k2，且b1≠b2重合k1＝k2，且b1＝b2垂直A1A2＋B1B2＝0k1·k2＝________(续表）－1A1A2＝B1B2≠C1C22.三个距离公式(1)已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.(2)设点A(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，点A到直线l的距离为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)设直线l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，则l1与l2间的距离为d＝|C－C′|A2＋B2.1．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么实数a＝()BA．－3B．－6C．－322D.32．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝()DA．2B．1C．0D．－13．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.30或84．若点A(3，m)与点B(0,4)的距离为5，则m＝_______.考点1两直线的平行与垂直关系例1：(1)已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0.若l1∥l2，求实数m的值．(2)已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0.若l1⊥l2，求实数a的值．解：(1)方法一：①当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1∥l2；②当m≠0时，l1：y＝－1m2x－6m2，l2：y＝2－m3mx－23.由－1m2＝2－m3m，且－6m2≠－23，得m＝－1.故所求实数m的值为0或－1.方法二：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的等价条件是A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.由所给直线方程，得1·3m－m2·(m－2)＝0，且1·2m－6·(m－2)≠0⇒m(m2－2m－3)＝0，且m≠3⇒m＝0或m＝－1.故所求实数m的值为0或－1.(2)方法一：由直线l1的方程知，其斜率为－a2.当a＝1时，直线l2的斜率不存在，l1与l2不垂直；当a≠1时，直线l2的斜率为－1a－1.由－a2·－1a－1＝－1⇒a＝23.故所求实数a的值为23.方法二：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的等价条件是A1A2＋B1B2＝0.【规律方法】1充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.2设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.由所给直线方程，得a·1＋2·(a－1)＝0⇒a＝23.故所求实数a的值为23.【互动探究】1．已知直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)，且)D与y轴交于点P，则点P的坐标为(A．(3,0)B．(－3,0)C．(0，－3)D．(0,3)解析：由题意知，直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，令x＝0，得y＝3，即点P的坐标为(0,3)．考点2直线系中的过定点问题例2：求证：不论m取什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点．证明：方法一：取m＝1，得直线方程y＝－4；再取m＝12，得直线方程x＝9.从而得两条直线的交点为(9，－4)．又当x＝9，y＝－4时，有9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上．故直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过定点(9，－4)．方法二：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0.则直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点．由方程组x＋2y－1＝0，x＋y－5＝0，解得x＝9，y＝－4，即过点(9，－4)．∴直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5通过定点(9，－4)．【规律方法】本题考查了方程思想在解题中的应用，构建方程组求解是解决本题的关键.很多学生不理解直线过定点的含义，找不到解决问题的切入点，从而无法下手.方法三：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，∴m(x＋2y－1)＝x＋y－5.由m为任意实数知，关于m的一元一次方程m(x＋2y－1)＝x＋y－5的解集为R，∴x＋2y－1＝0，x＋y－5＝0，解得x＝9，y＝－4.∴直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过定点(9，－4)．【互动探究】B2．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是()A．(5,2)B．(2,3)C.－12，3D．(5,9)解析：整理，得k(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0.解方程组2x－y－1＝0，x＋3y－11＝0，得x＝2，y＝3.解：设点B关于直线3x－y－1＝0的对称点为B′(a，b)，如图7-2-1，考点3对称问题例3：已知在直线l：3x－y－1＝0上存在一点P，使得P到点A(4,1)和点B(3,4)的距离之和最小．求此时的距离之和．图7-2-1则b－4a－3＝－13，且3·a＋32－b＋42－1＝0.解得a＝35，b＝245，∴B′35，245.当PA＋PB最小时，PA＋PB＝AB′＝4－352＋1－2452＝26.【规律方法】在直线上求一点，使它到两定点的距离之和最小的问题：①当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点即为所求；②当两定点在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为情形①来解决.【互动探究】A3．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为()A．3x＋4y＋5＝0C．－3x＋4y－5＝0B．3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0解析：与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.●易错、易混、易漏●⊙忽略直线方程斜率不存在的特殊情形致误例题：过点P(－1,2)引一条直线l，使它到点A(2,3)与到点B(－4,5)的距离相等，求该直线l的方程．错因分析：设直线方程，只要涉及直线的斜率，易忽略斜率不存在的情形，要注意分类讨论．正解：方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1显然与点A(2,3)，B(－4,5)的距离相等；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋2＋k＝0.依题意有2k－3＋2＋kk2＋1＝－4k－5＋2＋kk2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－13.∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0；故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.方法二：当直线l与AB平行时，kl＝kAB＝－13，∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0；当直线l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)，∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.【失误与防范】方法一是常规解法，本题可以利用代数方法求解，即设点斜式方程，然后利用点到直线的距离公式建立等式求斜率k，但要注意斜率不存在的情况，很容易漏解且计算量较大；方法二利用数形结合的思想使运算量大为减少，即A，B两点到直线l的距离相等，有两种情况：①直线l与AB平行；②直线l过AB的中点.