2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第五章-第8讲-数学归纳法

第8讲数学归纳法1．掌握“归纳—猜想—证明”这一基本思路．2．了解数学归纳法的基本原理．3．能利用数学归纳法证明与自然数有关的命题．1．运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)，第二步是归纳递推(或归纳假设)，两步缺一不可．2．用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等．条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1B．2C．3D．4且n1)时，在第二步证明从n＝k到n＝k＋1成立时，左边增加的项数是()1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条2．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n－1n，(n∈N*，A．2kB．2k－1C．2k－1D．2k＋1CA3.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形有对角线数f(n＋1)为()C5A．f(n)＋n＋1C．f(n)＋n－1B．f(n)＋nD．f(n)＋n－24．若不等式2nn2＋1对于n≥n0的正整数n都成立，则n0的最小值为_______.考点1对数学归纳法的两个步骤的认识例1：(1)对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：上述证明过程中，在由n＝k变化到n＝k＋1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选D.答案：D(2)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N*，n1)时，第一步应验证不等式()A．1＋122B．1＋12＋132C．1＋12＋133D．1＋12＋13＋143答案：B解析：∵n∈N*，n1，∴n取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.故选B.【规律方法】用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个方面：①n的范围以及递推的起点；②观察首末两项的次数或其他，确定n＝k时命题的形式fk；③从fk＋1和fk的差异，寻找由k到k＋1递推中，左边要加或乘的式子.【互动探究】1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝1－an＋1(a≠1，1－an∈N*)时，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是()BA．1C．1＋a＋a2B．1＋aD．1＋a＋a2＋a4解析：n＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1＋a.＋—的2．用数学归纳法证明不等式11n＋1n＋2＋…＋113n＋n24过程中，由k推导到k＋1时，不等式左边增加的式子是.解析：求f(k＋1)－f(k)即可．当n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k.当n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1k＋1＋k＋1.故左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1，即12k＋12k＋2.12k＋12k＋2答案：n(n＋1)＝(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立？证明你考点2用数学归纳法证明恒等式命题例2：是否存在常数a，b，c，使等式1×22＋2×32＋…＋2nn＋112的结论．思维点拨：从特殊入手，探求a，b，c的值，考虑到有3个未知数，先取n＝1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切n∈N*，等式都成立．(3n2＋11na＋b＋c＝24，解：把n＝1,2,3代入得方程组4a＋2b＋c＝44，9a＋3b＋c＝70，a＝3，解得b＝11，c＝10.猜想：等式1×22＋2×32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112＋10)对一切n∈N*都成立．(3k2＋11k＋10)，下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＝kk＋112kk＋1kk＋1则1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝12(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝12(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2＝k＋1k＋212[k(3k＋5)＋12(k＋2)]＝k＋1k＋212[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．∴当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)，对n∈N*等式都成立．【规律方法】这是一个探索性命题，“归纳—猜想—证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式.对于探索命题特别有效，要求善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后进行严密的论证.从特殊入手，探求a，b，c的值，考虑到有3个未知数，先取n＝1，2，3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切n∈N*，等式都成立.＝＝，＝，左边＝右边，所以等式成立．【互动探究】3．用数学归纳法证明：当n∈N*时，11×3＋13×5＋…＋1n2n－12n＋12n＋1.证明：(1)当n＝1时，左边＝111×33右边＝12×1＋113＋k＋1k＋1(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝k12k＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝＝2k＋32k＋1＋1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．考点3用数学归纳法证明整除性命题例3：试证：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．证明：方法一：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．方法二：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中，得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴当n＝k＋1时命题成立．根据(1)(2)可知，∀n∈N*，命题都成立．【互动探究】4．求证：二项式x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，显然x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除，即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立．●难点突破●⊙数学归纳法的应用例题：(2014年广东)设数列{an}的前n和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．则Sk＝3＋5＋7＋(2k＋1)＝3＋2k＋12×k＝k(k＋2)．解：S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20.又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.综上所述，a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)由(1)猜想an＝2n＋1，①当n＝1时，结论显然成立；②假设当n＝k(k≥1)时，ak＝2k＋1，又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k.解得ak＋1＝2k＋3.∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1.【规律方法】猜想an＝2n＋1；根据猜想求出Sk；再利用Sk＝2kak＋1－3k2－4k求出ak＋1；验证ak＋1也满足猜想，得出结论.