倒易点阵习题集

例题2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵．[证明]选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，1ˆˆˆ2aaxyz2ˆˆˆ2aaxyz3ˆˆˆ2aaxyz其中a是立方晶胞边长，ˆˆˆ,,xyz是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积312312cVaaaa根据式(2．1)计算倒易点阵矢量123231312222,,cccbaabaabaaVVV2123ˆˆˆˆˆ22222222cxyzVaaaabaaxyaaa2231ˆˆˆˆˆ22222222cxyzVaaaabaayzaaa2312ˆˆˆˆˆ22222222cxyzVaaaabaazxaaa于是有：123222ˆˆˆˆˆˆ,,bxybyzbzxaaa显然123,,bbb正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a．同理，对面心立方点阵写出初基矢量1ˆˆ2aaxy2ˆˆ2aayz3ˆˆ2aazx如图1.10所示。初基晶胞体积312314cVaaaa。根据式(2．1)计算倒易点阵矢量123222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,bxyzbxyzbxyzaaa显然，123,,bbb正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a．2．2(a)证明倒易点阵初基晶胞的体积是32/cV，这里cV是晶体点阵初基晶胞的体积；(b)证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．[证明](a)倒易点阵初基晶胞体积为123bbb，现计算123bbb．由式(2．1)知，123231312222,,cccbaabaabaaVVV此处123cVaaa而222331123121311222ccbbaaaaaaaaaaaaVV这里引用了公式：ABCDABDCABCD。由于3110aaa，故有22331212cbbaaaaV而312cVaaa故有22312cbbaV233123111232222cccbbbabaaaVVV或写成31231232bbbaaa倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的32倍。(b)现要证明晶体点阵初基矢量123,,aaa满足关系2331121231231231232,2,2bbbbbbaaabbbbbbbbb有前面知：22312cbbaV令223111231232122cbbcabbbVbbb又知312312cbbbV，代入上式得：3111322ccVcaaV同理31221232bbcabbb12331232bbcabbb可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身．2．3面间距考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a)证明倒易点阵矢量123Ghklhbkblb垂直于这组平面(hkl)；(b)证明两个相邻的点阵平面间的距离d(hkl)为：2dhklGhkl(c)证明对初基矢量123,,aaa互相正交的晶体点阵，有2221231dhklhklaaa(d)证明对简单立方点阵有222adhklhkl证明(a)参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是123,,ahakal．现要证明G(hkl)垂直于ABC，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可．31aaCAhl，32aaCBkl用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2．2)，立即可得3311123130aaaaGhklCAhbkblbhblbhlhl同理，0GhklCB故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)．(b)点阵平面(hkl)的面间距d(hkl)为123112ˆGhklhbkblbaadhklOAnhhGhklGhklGhkl(c)如果晶体点阵的初基矢量123,,aaa彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交．设112233ˆˆˆ,,bbxbbybbz由倒易点阵基矢的定义123231312222,,cccbaabaabaaVVV及123cVaaa得1122332,2,2bababa222222222212322212312322hklhklGhklhbkblbaaaaaa于是面间距为22212321dhklGhklhklaaa(d)对立方晶系中的简单立方点阵，123aaaa，用(c)的结果可得222adhklhkl2．4二维倒易点阵一个二维晶体点阵由边长AB＝4，AC=3，夹角BAC＝3的平行四边形ABCD重复而成，试求倒易点阵的初基矢量．[解]解法之一参看图2．4，晶体点阵初基矢量为1ˆ4ax2333ˆˆ22axy用正交关系式(2．2)求出倒易点阵初基矢量12,bb。设111222ˆˆˆˆ,xyxybbxbybbxby由111221222,0,0,2babababa得到下面四个方程式11ˆˆˆ42xyxbxby(1)11333ˆˆˆˆ022xyxybxby(2)22ˆˆˆ40xyxbxby(3)22333ˆˆˆˆ222xyxybxby(4)由式(1)得：1142,2xxbb由式(2)得：11333022xybb，即13330222yb解得：123yb由式(3)得：2240,0xxbb代入式(4)得：223342,233yybb于是得出倒易点阵基矢124ˆˆˆ,22333bxyby解法之二选取3a为ˆz方向的单位矢量，即令3ˆaz于是初基晶胞体积cV为123333ˆˆˆˆ46322cVaaaxxyz倒易点阵基矢为12322333ˆˆˆˆˆ2226323cbaaxyzxyV23124ˆ33cbaayV3122ˆ2cbaazV对二维点阵，仅取ˆˆ,xy两个方向，于是得124ˆˆˆ,22333bxyby2．5简单六角点阵的倒易点阵简单六角点阵的初基矢量可以取为12333ˆˆˆˆˆ,,2222aaaaxyaaxyacz(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2π／c和43a，并且相对于正点阵转动了30角；(b)当比率c／a取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的c／a比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少?(c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积．[解](a)选取简单六角点阵的初基矢量如图2．5所示．12333ˆˆˆˆˆ,,2222aaaaxyaaxyacz初基晶胞体积为231232cVaaaac倒易点阵初基矢量为123ˆˆˆ22322ˆˆ222300ccxyzaaabaaxyVVaac231ˆˆˆ2222ˆˆ0033022ccxyzbaacxyVVaaaa312ˆˆˆ2232ˆ0223022ccxyzaabaazVVcaa或写为123ˆˆ43432ˆˆˆ,,222233xxbybybzcaa同正点阵初基矢量123ˆˆ33ˆˆˆ,,2222yyaaxaaxacz比较看出，123,,bbb所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为2c和43a，并相对于正点阵绕c转动了30角(见图2．6)。(b)设倒易点阵的点阵常数比为ca，出(a)可知32423acacca若caca，则有2233,0.93122caca故当正点阵的ca值为32时，倒易点阵的ca和正点阵的ca有相同值。若正点阵c／a＝83，则倒易点阵的ca为30.532caac故当正点阵的c／a为理想值时，倒易点阵的这个比值为0.53．(c)简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的W—S晶胞．显然为一六角正棱柱(如图2．7)，其体积为3322163cVac即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为31232163bbbac2．6底心正交点阵的倒易点阵证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵．[证明]底心正交点阵的惯用晶胞如图2．8所示．选取初基矢量为12311ˆˆˆˆ,,22aaxaaxbyacz初基晶胞体积为2cabcV倒易点阵基矢为1232313122112422ˆˆˆˆ2,,cccbaaxybaaybaazVabVbVc由图2．9可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为4,4,2abc。2．7三角点阵的倒易点阵三角点阵初基矢量具有相等长度a，彼此夹角为θ，试证明三角点阵的倒易点阵仍为三角点阵，且倒易点阵初基矢量的长度为a。12212coscosaa其中是倒易点阵初基矢量间的夹角，满足-cosθ*＝cosθ／(1+cosθ)[证明]三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等．现令初基矢量为123ˆˆˆcossinˆˆˆcoscoscosaaxaaxayaaxayaz(1)参见图2.10，cos,cos,cos是3a在x、y、z三个方向的方向余弦。由312cosaaa得coscos(2)由322cosaaa得cos1coscossin(3)于是有122222122cos1coscos[1coscos]1sin(4)由倒易点阵基矢的定义可知123,,bbb分别垂直于正点阵初基晶胞的233112,,aaaaaa平面，且有相同长度，123bbbba22sincaaV(5)将3123312sincoscVaaaaaaa(6)代入上式得232sin21sincoscosaaaa(7)123,,bbb彼此间应有相间夹角．设12,bb间的夹角为，122cosbba22331212coscaaaaaV利用公式ABCBCACABABCCABABC上式化为2233123312134242coscossinsin1cosaaaaaaaaaaaaa(8)同理可以