线性代数赵树嫄第二章课件.ppt

Ch2矩阵本章介绍矩阵的概念、矩阵的运算、逆矩阵、分块矩阵及计算、矩阵的初等变换等。矩阵是从生产实践和科学技术问题中抽象出来的一个数学概念，它在线性代数中既是最基本的研究对象，又是最重要的研究工具，它贯穿线性代数的各个方面。1、理解矩阵概念，知道零矩阵、单位阵、对角阵、对称阵等特殊矩阵。2、熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算以及它们的运算规律。3、知道矩阵的分块方法。4、理解逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件。掌握求逆阵的方法。5、熟练掌握矩阵的初等变换。本章基本要求本章重点矩阵的乘法、逆阵及矩阵的初等变换。§1矩阵的概念在很多实际问题中，我们常常会碰到具有m个方程n个末知量的最一般形式的线性方程组：22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原来相对位置不变可排为11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab定义1由mn个数aij(i=1,2，…，m；j=1,2，…，n)排列成的m行n列的数表：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211简记为(aij)m×n,aij表示矩阵A的第i行、第j列的元素。称为m行n列的矩阵，简称为m×n阶矩阵。常记为矩阵通常用大写字母A、B、C等表示。元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如34695301是一个实矩阵,422222222613i是一个复矩阵,33421是一个矩阵,139532是一个矩阵,414是一个矩阵.114nijnnnnnnaAnnnnaaaaaaaaaA)(,,212122211211简记为阶矩阵阶方阵或常称为方阵为方阵A的元素按原来相对位置不变所构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或detA。例如2222222613是一个3阶方阵.几种特殊矩阵（1）n阶方阵,21naaaB只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.n00000021（3）形如的方阵,(2)只有一行的矩阵,,,,21naaaA称为行矩阵(或行向量)。记作.,,,21ndiagA（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.nmnmoo注意.00000000000000000000不同阶数的零矩阵是不一样的.例如(5)单位矩阵100010001nII称为单位矩阵（或单位阵）。同型矩阵与矩阵相等的概念1、两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为同型矩阵。2.两个矩阵A=(aij)，B=(bij)为同型矩阵，并且对应元素相等，即,,,2,1;,,2,1njmibaijij则称矩阵A与B相等，记作.BA例如9348314736521与为同型矩阵.(6)上(下)三角矩阵阶上三角矩阵称为naaaaaaAnnnn22211211.21222111阶下三角矩阵称为naaaaaaBnnnn(7)对称阵与反对称阵.),,,2,1,(,,)(为对称矩阵称则如果中在方阵AnjiaaaAjiijnij为对称矩阵762681210A为反对称阵032301210B如为反对称矩阵则称如果.,,,2,1,,Anjiaajiij(8)负矩阵()()()ijmnijmnijAaaAAAa设，则称为矩阵的负矩阵，记作-。即-。例如10359643A则10359643A).5,4,3,2,1;4,3,2,1(,2),(54jijiaaAijij其中矩阵试写出例:解.34567123451012332101A§2.2矩阵的运算矩阵的意义不仅仅在于将一些数据排成一个有规律的数表形式，更重要的是在于当我们对它定义了一系列运算后，矩阵可以像数一样运算，从而使得矩阵成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。定义设有两个mn矩阵A=(aij)，B=(bij),那末矩阵A和B的和记作A+B，规定为nmijijbaBA)(mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111一、矩阵的加法例1有某种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B：321034022753A846075120231B则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）共为：834261007354102202273513BA11670109142984.:加只有同型矩阵才可以相注矩阵加法满足下列运算规律：性质1设A、B、C是同型矩阵，则(1)交换律：A+B=B+A；(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；(3)A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵。矩阵的减法：nmijijbaBABA)()(显然有A-A=O二、数乘矩阵定义数与矩阵A的乘积记作A，规定为：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211例1设有3个产地与4个销地的里程（单位：公里），为矩阵A：105951901355040130809080175120A如果运费为1.5元/公里，则运费矩阵为：1055.1955.11905.11355.1505.1405.11305.1805.1905.1805.11755.11205.15.1A5.1575.1422855.20275601951201351205.262180矩阵的数乘满足下列运算规律：性质2设A，B是同型的矩阵，、为常数，则(1)()A=(A)=(A)；(2)(+)A=A+A；(3)(A+B)=A+B；(4)A=O，当且仅当=0或A=O。矩阵相加与数与矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。显然，(－1)A=－A，－(－A)=A。310282A已知.23,130541BAB求:3例310282323:BA解13054129306246260108211304164。求矩阵且：设例XBXABA,2,612379154257,8642975102134)(21ABX解：2721224444642112/712/111222232例子，设有两个线性变换（2.1)(2.2),,,,,23213132221212212111132322212123132121111tbtbxtbtbxtbtbxxaxaxayxaxaxay(2.1)称为从变量Y到变量X的线性变换；(2.2)称为从变量X到变量T的线性变换。三、矩阵与矩阵相乘它们的系数矩阵分别是322212312111231322122111,bbbbbbBaaaaaaA如要求出从Y(y1，y2)到T(t1，t2)的线性变换，可将（2.2）代入（2.1），便得：的乘积。与可以看作是由线性变换线性变换）（2.2)(2.1)()3.2(2.3)()()()(232232222122113123212211212232132212121113113211211111tbababatbababaytbababatbababay观察(2.1)、(2.2)、(2.3)所对应的矩阵的关系：232221131211aaaaaa322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa322212312111bbbbbb由此我们定义它们之间关系为矩阵的乘积，即一般地，2.4,)(,)(,)(512211skkjiksjisjijiijnmijnsijsmijbabababaccCnmABBAnsbBsmaA其中矩阵一个是的乘法与那么规定矩阵矩阵是矩阵是设定义记为C=AB。(2.4)式表明，乘积矩阵AB的i行j列位置上的元素是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。******21isiiaaa******21snjjbbb*****ijc即.,)()(.1:][两个矩阵才能相乘的行数相等时右矩阵的列数与第二个矩阵左矩阵只有当第一个矩阵说明.,可以相乘的并非任意两个矩阵都是因此.,.2右乘矩阵的列数列数等于乘矩阵的行数乘积矩阵的行数等于左例1222263422142C221632816设415003112101A121113121430B例2?故121113121430415003112101ABC.解,)(43ijaA,34)(ijbB.)(33ijcC567102621710注意：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.106861985123321例如12332113223110没有意义。321123321642963=10。及的乘积与求矩阵例BAABBA634221423解：21426342BA63422142AB;1683216。0000..2002,1111,11114ACABCBA与求设矩阵例;2222.222211111111AB解：20021111AC由矩阵的定义及上述例题可知，矩阵乘法与普通数的乘法有根本的差别，应特别引起注意。;)1(以相乘不是任意两