2011丰台区高三期末(数学理)有答案

正视图俯视图21.621.5丰台区高三数学第一学期期末试卷（理科）2011.1一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．集合2{90}Pxx，{13}QxxZ，则P∩Q=A．{33}xxB．{13}xxC．{10123}，，，，D．{1012}，，，2．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A．3332225B．323325C．329325D．12893253．已知命题p：1x，210x，那么p是A．1x，210xB．1x，210xC．1x，210xD．1x，210x4．如果向量(,1)ak与(61)bk，共线且方向相反，那么k的值为A．-3B．2C．17D．175．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有A．24种B．48种C．96种D．120种6．设偶函数()fx在[0)，上为增函数，且(2)(4)0ff，那么下列四个命题中一定正确的是A．(3)(5)0ffB．(3)(5)ffC．函数在点(4(4))f，处的切线斜率10kD．函数在点(4(4))f，处的切线斜率20k开始2a,1n输出a结束3aa1nn2010n是否7．程序框图如图所示，将输出的a的值依次记为a1，a2，…，an，其中*nN且2010n．那么数列{}na的通项公式为A．123nnaB．31nnaC．31nanD．21(3)2nann8．用max{}ab，表示a，b两个数中的最大数，设2()max{}fxxx，1()4x，那么由函数()yfx的图象、x轴、直线14x和直线2x所围成的封闭图形的面积是A．3512B．5924C．578D．9112二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．复数21ii=．10．在△ABC中，如果::3:2:4abc，那么cosC=．11．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为，．12．过点(34)，且与圆22(1)(1)25xy相切的直线方程为．13．已知x，y满足约束条件1260yyxxy，，，那么3zxy的最小值为．14．定义方程()()fxfx的实数根x0叫做函数()fx的“新驻点”，如果函数()gxx，()ln(1)hxx，()cosxx（()x，）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是．三、解答题：本大题共6小题，共80分15.（本小题共13分）已知函数2()2sincos2cosfxxxx（0xR，），相邻两条对称轴之间的距离等于2．（Ⅰ）求()4f的值；（Ⅱ）当02x，时，求函数)(xf的最大值和最小值及相应的x值．16.（本小题共14分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；（Ⅲ）当13BDAB时，求二面角1BCDB的余弦值．17.（本小题共13分）某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二AA1BCDB1C1题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响．（I）求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求的分布列及数学期望E．18.（本小题共13分）已知O为平面直角坐标系的原点，过点(20)M，的直线l与圆221xy交于P，Q两点．（I）若12OPOQ，求直线l的方程；（Ⅱ）若OMP与OPQ的面积相等，求直线l的斜率．19.（本小题共14分）设函数2()(1)2ln(1)fxxx．（I）求()fx的单调区间；（II）当0a2时，求函数2()()1gxfxxax在区间[03]，上的最小值．20.（本小题共13分）已知函数2()1fxx，数列{}na中，1aa，1()nnafa*()nN．当a取不同的值时，得到不同的数列{}na，如当1a时，得到无穷数列1，3，53，115，…；当2a时，得到常数列2，2，2，…；当2a时，得到有穷数列2，0．（Ⅰ）若30a，求a的值；（Ⅱ）设数列{}nb满足12b，1()nnbfb*()nN．求证：不论a取{}nb中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}na；（Ⅲ）若当2n时，都有533na，求a的取值范围．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学第一学期期末理科参考答案及评分标准2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案DCBABDAA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9．1+i10．1411．85，3.212．43240xy13．11214．注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题满分13分）已知函数2()2sincos2cosfxxxx（0xR，），相邻两条对称轴之间的距离等于2．（Ⅰ）求()4f的值；（Ⅱ）当0,2x时，求函数)(xf的最大值和最小值及相应的x值．解：（Ⅰ）()sin2cos212sin(2)14fxxxx．AA1BCDB1C1E因为22T，所以T，1．所以()2sin(2)14fxx．所以()04f………………………7分（Ⅱ）()2sin(2)14fxx当0,2x时，32444x，所以当242x，即8x时，max()21fx，当244x，即0x时，min()2fx．………………………13分16.（本小题满分14分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；（Ⅲ）当13BDAB时，求二面角1BCDB的余弦值．证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥AC．因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．所以AC⊥B1C．………………………5分（Ⅱ）证明：连结BC1，交B1C于E，DE．因为直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，所以侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，所以DE//AC1．因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD．………………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则B(3,0,0)，A(0,4,0)，A1(0,0,c)，B1(3,0,4)．设D(a,b,0)（0a，0b），因为点D在线段AB上，且13BDAB，即13BDBA．所以2a，43b，4(1,,0)3BD．所以1(3,0,4)BC，(3,4,0)BA，4(2,,0)3CD．平面BCD的法向量为1(0,0,1)n．设平面B1CD的法向量为2(,,1)nxy，由120BCn，20CDn，得3404203xxy，所以43x，2y，24(,2,1)3n．设二面角1BCDB的大小为，所以12123cos61nnnn．所以二面角1BCDB的余弦值为36161．………………………14分17.（本小题满分13分）某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响．（I）求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求的分布列及数学期望E．AA1BCDB1C1xyz解：（I）设“学生答对第一题”为事件A,“学生答对第二题”为事件B．所以“一名学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为()()()()PPABABABPABPABPAB0.40.50.60.50.50.60.8．………………………5分（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，且～(3,0.8)B．3(0)0.20.008P，123(1)0.80.20.096PC，223(2)0.80.20.384PC，3(3)0.80.512P．所以，的分布列为0123P0.0080.0960.3840.51230.82.4E．………………………13分18.（本小题满分13分）已知O为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M的直线l与圆221xy交于PQ、两点．（Ⅰ）若12OPOQ，求直线l的方程；（Ⅱ）若OMP与OPQ的面积相等，求直线l的斜率．解：（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，因为直线l过点(2,0)M，可设直线l：(2)ykx．因为PQ、两点在圆221xy上，所以1OPOQ，因为12OPOQ，所以1cos2OPOQOPOQPOQ所以120POQ所以O到直线l的距离等于12．所以2|2|121kk，得1515k，所以直线l的方程为1520xy或1520xy．………………………6分（Ⅱ）因为OMP与OPQ的面积相等，所以2MQMP，设11(,)Pxy，22(,)Qxy，所以22(2,)MQxy，11(2,)MPxy．所以212122(2)2xxyy即21212(1)2xxyy（*）；因为P，Q两点在圆上，所以2211222211xyxy把（*）代入，得2211221114(1)41xyxy，所以1178158xy，．所以直线l的斜率159MPkk，即159k．………………………13分19.（本小题满分14分）设函数2()(1)2ln(1)fxxx．（I）求()fx的单调区间；（II）当0a2时，求函数2()()1gxfxxax在区间[03]，上的最小值．解：（I）定义域为(1,)．12(2)()2(1)11xxfxxxx．令()0fx，则2(2)01xxx，所以2x或0x．因为定义域为(1,)，所以0x．令()0fx，则2(2)01xxx，所以20x．因为定义域为(1,)，所以10x．所以函数的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(1,0)．………………………7分（II）()(2)2ln(1)gxaxx（1x）．2(2)()(2)11axagxaxxx．因为0a2，所以20a，02aa．令()0gx可得2axa．所以函数()gx在(0,)2aa上为减函数，在(,)2aa上为增函数．①当032aa，即302a时，在区间[03]，上，()gx在(0,)2aa上为减函数，在(,3)2aa上为增函数．所以min2()()2ln22agxgaaa．②当32aa，即322a时，()gx在区间(03)，上为减函数．所以min()(3)632ln4gxga．综上所述，当302a时，mi