海淀区高三二模数学试题及答案(理科)

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）2010.5审核：陈亮校对：张浩一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．已知集合0Axx，{0,1,2}B，则A．ABB．BAC．ABBD．AB2．函数()sin(2)3fxx图象的对称轴方程可以为A．12xB．512xC．3xD．6x3．如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若20D，则DBE的大小为A.20B.40C.60D.704．函数()2lnfxxx在定义域内零点的个数为A．0B．1C．2D．35．已知不等式组02,20,20xxykxy所表示的平面区域的面积为4，则k的值为A．1B．3C．1或3D．06．已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列条件能使n成立的是A．，mB．//，mC．，//nD．//m，nm7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为A．16kB．8kC．16kD．8k8．已知动圆C经过点F(0，1),并且与直线1y相切，若直线34200xy与圆C有公共点，则圆C的面积A．有最大值为B．有最小值为C．有最大值为4D．有最小值为4开始S=0MS=S+k2kk结束输出S是否k=1AEBCOD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．在极坐标系中，若点0(,)3A(00)是曲线2cos上的一点，则0.10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）.1s，2s分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则1s2s.（填“”、“”或“＝”）11．已知向量a=)0,1(，b=)1,(x，若ab2，则x；ab.12.已知数列na满足11a，12nnnaa（nN*），则910aa的值为.13．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，若sinacA，则abc的最大值为.14．给定集合{1,2,3,...,}nAn，映射:nnfAA满足：①当,,nijAij时，()()fifj；②任取,nmA若2m，则有m{(1),(2),..,()}fffm..则称映射f：nnAA是一个“优映射”.例如：用表1表示的映射f：33AA是一个“优映射”.表1表2（1）已知表2表示的映射f：44AA是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若映射f：1010AA是“优映射”，且方程()fii的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）记等差数列{}na的前n项和为nS，已知2446,10aaS.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）令2nnnba*(N)n，求数列{}nb的前n项和nT.i123()fi231i1234()fi316．（本小题满分14分）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PAABCD底面，其中226BCABPA，MN,为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示.（Ⅰ）求证：//ANMBD平面；（Ⅱ）求异面直线AN与PD所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角MBDC的余弦值.17．（本小题满分13分）为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立.（Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列及期望．18．（本小题满分13分）已知函数2()(2)eaxfxaxx，其中a为常数，且0a.（Ⅰ）若1a，求函数()fx的极值点；（Ⅱ）若函数()fx在区间(2,2)上单调递减，求实数a的取值范围.19．（本小题满分13分）已知椭圆1C和抛物线2C有公共焦点F(1,0),1C的中心和2C的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线2C分别相交于A,B两点.（Ⅰ）写出抛物线2C的标准方程；（Ⅱ）若12AMMB，求直线l的方程；（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线2C上，直线l与椭圆1C有公共点，求椭圆1C的长轴长的最小值.PABCDMN20．（本小题满分14分）已知函数()fx的图象在[,]ab上连续不断，定义：1()min{()|}fxftatx([,])xab，2()max{()|}fxftatx([,])xab．其中，min{()|}fxxD表示函数()fx在D上的最小值，max{()|}fxxD表示函数()fx在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得21()()()fxfxkxa对任意的[,]xab成立，则称函数()fx为[,]ab上的“k阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cosfxx，[0,]x，试写出1()fx，2()fx的表达式；（Ⅱ）已知函数2()fxx，[1,4]x，试判断()fx是否为[1,4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知0b，函数32()3fxxx是[0,]b上的2阶收缩函数，求b的取值范围.海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2010．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案BADCABAD第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．110．11．2；1012．4813．214．；84.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，由2446,10aaS，可得11246434102adad，………………………2分即1123235adad，解得111ad，………………………4分∴111(1)naandnn，故所求等差数列na的通项公式为nan.………………………5分（Ⅱ）依题意，22nnnnban，∴12nnTbbb231122232(1)22nnnn，………………………7分又2nT2341122232(1)22nnnn，…………………9分两式相减得2311(22222)2nnnnTn………………………11分1212212nnn1(1)22nn，………………………12分∴1(1)22nnTn.………………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，连结OM，ABCD底面为矩形，OAC为中点，…………1分MNPC、为侧棱的三等分点，CMMN，//OMAN，…………3分,OMMBDANMBD平面平面，//ANMBD平面.…………4分（Ⅱ）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(3,0,0)B，(3,6,0)C，(0,6,0)D，(0,0,3)P，(2,4,1)M，(1,2,2)N,(1,2,2),(0,6,3)ANPD,………………………5分012625cos,15335ANPDANPDANPD,………………………7分异面直线AN与PD所成角的余弦值为2515.………………………8分（Ⅲ）侧棱PAABCD底面,(0,0,3)BCDAP平面的一个法向量为,………………………9分设MBD平面的法向量为(,,)xyzm,(3,6,0),(1,4,1)BDBM，并且,BDBMmm,36040xyxyz，令1y得2x，2z,MBD平面的一个法向量为(2,1,2)m.………………………11分PABCDMNzyxPABCDMNO2cos,3APAPAPmmm,………………………13分由图可知二面角MBDC的大小是锐角,二面角MBDC大小的余弦值为23..………………………14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A.………………1分每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有43种等可能的情况.…………………2分事件A所包含的等可能事件的个数为3，…………………3分所以，431327PA.即：4人恰好选择了同一家公园的概率为127.………………5分（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则13PC..………………………6分4人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量X服从二项分布.X可取的值为0，1，2，3，4..………………………8分4412()()33iiiPXiC，0,1,2,3,4i..………………………10分X的分布列为:X01234P168132812481881181.………………………12分X的期望为14433EX．.………………………13分18.（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）依题意得2()(2)exfxxx，所以2()(2)exfxx，.………………………1分令()0fx，得2x，.………………………2分()fx，()fx随x的变化情况入下表：x(,2)2(2,2)2(2,)()fx－0+0－()fx极小值极大值………………………4分由上表可知，2x是函数()fx的极小值点，2x是函数()fx的极大值点.………………………5分（Ⅱ）22()[(22)2]eaxfxaxaxa,.………………………6分由函数()fx在区间(2,2)上单调递减可知：()0fx对任意(2,2)x恒成立，.………………………7分当0a时，()2fxx，显然()0fx对任意(2,2)x恒成立；.…………………8分当0a时，()0fx等价于22(22)20axaxa，因为(2,2)x，不等式22(22)20axaxa等价于2222axxa,.………………………9分令2(),[2,2]gxxxx，则22()1gxx，在[2,2]上显然有()0gx恒成立，所以函数()gx在[2,2]单调递增，所以()gx在[2,2]上的最小值为(2)0g，.………………………11分由于()0fx对任意(2,2)x恒成立等价于2222axxa对任意(2,2)x恒成立，需且只需2min22()agxa，即2220aa，解得11a，因为0a，所以01a.综合上述，若函数()fx在区间(2,2)上单调递减，则实数a的取值范围为01a..………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）22()[(22)2]eaxfxaxaxa,.………………………6分由函数()fx在区间(2,2)上单调递减可知：()0fx对任意(2,2)x恒成立，即22(22)20axaxa对任意(2,2)x恒成立，…………………7分当0a时，()2fxx，显然()0fx对任意(2,2)x恒成立；…………………8分当0a时，令22()(22)2hxaxaxa，则函数()hx图象的对称轴为21axa，.………………………9分若210aa，即01a时，函数()hx在(0,)单调递增，要使()0hx对任意(2,2)x恒