2000考研数一真题及解析

Borntowin12000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)1202xxdx(2)曲面2222321xyz在点1,-2,2的法线方程为(3)微分方程3'0xyy的通解为(4)已知方程组12312112323120xaxax无解，则a(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则()PA=二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设(),()fxgx是恒大于零的可导函数，且'()()()'()0,fxgxfxgx则当axb时，有()(A)()()()()fxgbfbgx(B)()()()()fxgafagx(C)()()()()fxgxfbgb(D)()()()()fxgxfaga(2)设22221:(0),SxyzazS为S在第一卦限中的部分，则有()(A)14SSxdSxdS(B)14SSydSxdS(C)14SSzdSxdS(D)14SSxyzdSxyzdS(3)设级数1nnu收敛，则必收敛的级数为()(A)11.nnnun(B)21.nnu(C)2121().nnnuu(D)11().nnnuu(4)设n维列向量组1,,()mmn线性无关，则n维列向量组1,,m线性无关的充分必要条件为()(A)向量组1,,m可由向量组1,,m线性表示.Borntowin2(B)向量组1,,m可由向量组1,,m线性表示.(C)向量组1,,m与向量组1,,m等价.(D)矩阵1,,mA与矩阵1,,mB等价.(5)设二维随机变量,XY服从二维正态分布，则随机变量XY与XY不相关的充分必要条件为()(A)()().EXEY(B)2222()()()().EXEXEYEY(C)22()().EXEY(D)2222()()()().EXEXEYEY三、(本题满分5分)求1402sinlim.1xxxexxe四、(本题满分6分)设,,xxzfxygyy其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求2.zxy五、(本题满分6分)计算曲线积分22,4LxdyydxIxy其中L是以点1,0为中心，R为半径的圆周R1，取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x内任意的光滑有向封闭曲面S,都有2()()0,xSxfxdydzxyfxdzdxezdxdy其中函数()fx在(0,+)内具有连续的一阶导数，且0lim()1,xfx=求()fx.七、(本题满分6分)求幂级数113(2)nnnnxn的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R的球体，0P是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P距离的平方成正比(比例常数0k)，求球体的重心位置.九、(本题满分6分)Borntowin3设函数()fx在0,上连续，且00()0,()cos0,fxdxfxxdx试证：在(0,)内至少存在两个不同的点12,,使12()()0.ff十、(本题满分6分)设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308A且113,ABABAE其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B.十一、(本题满分8分)某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将16熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为,nxny记成向量nnxy.(1)求11nnxy与nnxy的关系式并写成矩阵形式：11;nnnnxxAyy(2)验证1241,11是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；(3)当111212xy时，求11.nnxy十二、(本题满分8分)某流水生产线上每个产品不合格的概率为01pp,各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X,求X的数学期望XE和方差XD.十三、(本题满分8分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2,(;)0,xexfxx其中0为未知参数，又设12,,,nxxx是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值.Borntowin42000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】4【详解】11220021(1)Ixxdxxdx解法1：用换元积分法：设1sinxt，当0x时，sin1t，所以下限取2；当1x时，sin0t，所以上限取0.所以1sin02cosxtIcosttdt由于在区间[,0]2，函数cost非负，则022202coscos4Itdtt解法2：由于曲线2221(1)yxxx是以点(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆周，它与直线1x和0y所围图形的面积为圆面积的14，故答案是4(2)【答案】122.146xyz【详解】曲面方程(,,)0Fxyz在点),,(000zyx的法矢量为：000000000{(,,),(,,),(,,)}xyznFxyzFxyzFxyz令222(,,)2321,Fxyzxyz则有1,-2,21,-2,21,-2,2'1,-2,22|2,'1,-2,24|8,'1,-2,26|12.xyzFxFyFz所以曲面在点(1,2,2)处的法线方程为：122.2812xyz即122.146xyz(3)【答案】122CyCx【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于(,')yfxy型的微分方程.【详解】令'py，有dpydx.原方程化为：30dpxpdx，30dppdxxBorntowin5分离变量：3dpdxpx两端积分：13ln3lndpdxpxCpx从而111133ln3ln31xCxCCCpeeeexex因120CCe记是大于零的任意常数，上式可写成23Cpx；记32CC，33Cpx，便得方程的通解33pCx，即3333dyCxdyCxdxdx，其中3C是任意常数对上式再积分，得：3235334452,22CCCyCxdxxCCCx所以原方程的通解为：122CyCx(4)【答案】1.【详解】化增广矩阵为阶梯形，有1211121123230111200231aaaa121101100(3)(1)3aaaa当a=−1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，根据方程组解的判定，其系数矩阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解.当a=3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解.(5)【答案】23(由,AB独立的定义：()()()PABPAPB)【详解】由题设，有1(),()()9PABPABPAB因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立.Borntowin6于是由()(),PABPAB有()()()()PAPBPAPB即有()1()1()()PAPBPAPB,可得()()PAPB，()()PAPB从而221()()()()1(),9PABPAPBPAPA解得2().3PA二、选择题(1)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数.题设中已知'()()()'()0,fxgxfxgx想到设函数为相除的形式()()fxgx.【详解】设()()()fxFxgx，则2'()()()'()()0,()fxgxfxgxFxgx则()Fx在axb时单调递减，所以对axb，()()()FaFxFb，即()()()()()()fafxfbgagxgb得()()()(),fxgbfbgxaxb，()A为正确选项.(2)【答案】C【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有：性质1：设(,,)fxyz在分块光滑曲面S上连续，S关于yoz平面对称，则10(,,)(,,)2(,,)(,,)SSfxyzxfxyzdSfxyzdSfxyzx若关于为奇函数若关于为偶函数其中1{0}SSx.性质2：设(,,)fxyz在分块光滑曲面S上连续，S关于xoz平面对称，则10(,,)(,,)2(,,)(,,)SSfxyzyfxyzdSfxyzdSfxyzy若关于为奇函数若关于为偶函数Borntowin7其中1{0}SSy.性质3：设(,,)fxyz在分块光滑曲面S上连续，S关于xoy平面对称，则10(,,)(,,)2(,,)(,,)SSfxyzzfxyzdSfxyzdSfxyzz若关于为奇函数若关于为偶函数其中1{0}SSz.【详解】方法1：直接法：本题中S在xoy平面上方，关于yoz平面和xoz平面均对称，而(,,)fxyzz对,xy均为偶函数，则112{0}24SSxSzdSzdSzdS性质性质又因为在1S上将x换为y，y换为z，z换为x，1S不变(称积分区域1S关于,,xyz轮换对称)，从而将被积函数也作此轮换变换后，其积分的值不变，即有111444SSSzdSxdSydS.选项()C正确.方法2：间接法(排除法)曲面S关于yoz平面对称，x为x的奇函数，所以0SxdS，而1SxdS中0x且仅在yoz面上0x，从而10SxdS，()A不成立.曲面S关于zox平面对称，y为y的奇函数，所以0SydS，而10SxdS，所以()B不成立.曲面S关于zox平面对称，xyz为y的奇函数，所以0SxyzdS，而10SxyzdS，所以()D不成立.(3)设级数1nnu收敛，则必收敛的级数为()(A)11.nnnun(B)21.nnu(C)2121().nnnuu(D)11().nnnuu【答案】DBorntowin8【详解】方法1：直接法.由1nnu收敛，所以11nnu也收敛.由收敛级数的性质(如果级数1nnu、1nnv分别收敛于s、，则级数1nnnuv也收敛，且其和为s).知11111nnnnnnnuuuu.选项()D成立.方法2：间接法.找反例：()A：取1(1)ln(1)nnun，级数1nnu收敛，但111(1)(1)ln(1)nnnnnunnn是发散的；（关于上述结束的敛散，有下述结果：111(1)ln(1)1pnpnnp收敛当当发散）()B：