【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题3 基本初等函数(Ⅰ)(含解析)

1【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题3基本初等函数（Ⅰ）一、选择题1．(文)(2014·江西文，4)已知函数f(x)＝a·2x，x≥02－x，x0(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝()A.14B.12C．1D．2[答案]A[解析]∵f(－1)＝2－(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝4a＝1，∴a＝14.(理)(2015·新课标Ⅱ理，5)设函数f(x)＝1＋log2－x，x＜1，2x－1，x≥1，)则f(－2)＋f(log212)＝()A．3B．6C．9D．12[答案]C[解析]考查分段函数．由已知得f(－2)＝1＋log24＝3，又log2121，所以f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9，故选C.2．(2014·哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(－2，－18)，则满足f(x)＝27的x的值是()A.12B.13C.14D.15[答案]B2[解析]设f(x)＝xα，则－18＝(－2)α，∴α＝－3，∴f(x)＝x－3，由f(x)＝27得，x－3＝27，∴x＝13.3．(文)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是()A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4[答案]C[解析]∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R上是增函数，所以p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数为真命题，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数为假命题，故q1：p1∨p2为真命题，q2：p1∧p2是假命题，q3：(¬p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(¬p2)是真命题．故真命题是q1、q4，故选C.[点拨]1.由指数函数的性质首先判断命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假．2．考查指、对函数的单调性是这一部分高考命题的主要考查方式之一．常常是判断单调性；已知单调性讨论参数值或取值范围；依据单调性比较数的大小等．(理)已知实数a、b，则“2a2b”是“log2alog2b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由y＝2x为增函数知，2a2b⇔ab；由y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数知，log2alog2b⇔ab0，∴ab⇒/ab0，但ab0⇒ab，故选B.4．(文)(2015·湖南理，5)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数[答案]A[解析]考查函数的性质．由1＋x0，1－x0，得－1x1，∴f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称；又∵f(－x)3＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，显然，f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.(理)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(32－x)＝f(x)，f(－2)＝－3，数列{an}满足a1＝－1，且Snn＝2×ann＋1，(其中Sn为{an}的前n项和)，则f(a5)＋f(a6)＝()A．－3B．－2C．3D.2[答案]C[解析]∵x∈R，f(32－x)＝f(x)，且f(x)为奇函数，∴f(32＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋3)＝f[32＋(x＋32)]＝－f(32＋x)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝3.又a1＝－1，Snn＝2×ann＋1，∴a2＝－3，a3＝－7，a4＝－11，a5＝－27，a6＝－55，∴f(a5)＝f(－27)＝f(0)＝0，f(a6)＝f(－55)＝－f(55)＝－f(1)＝－f(－2＋3)＝－f(－2)＝3，∴f(a5)＋f(a6)＝3.5．(2015·天津理，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a[答案]C[解析]考查函数奇偶性及指数式、对数式的运算．因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，所以m＝0，即f(x)＝2|x|－1，所以a＝f(log0.53)＝flog213＝2log213－1＝2log23－1＝3－1＝2，b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(2m)＝f(0)＝20－1＝0，所以cab，故选C.[方法点拨]1.幂式、对数式等数值比较大小问题，利用同底数、同指数或同真数等借助于函数单调性或图象求解．2．指数函数与对数函数的图象与性质指数函数对数函数4定义函数y＝ax(a0，a≠1，x∈R)叫指数函数函数y＝logax(a0，a≠1，x0)叫对数函数值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)图象性质(1)y0；(2)图象恒过点(0,1)；(3)a1，当x0时，y1；当x0时，0y1；0a1，当x0时，0y1；当x0时，y1；(4)a1，在R上y＝ax为增函数；0a1，在R上y＝ax为减函数(1)x0；(2)图象恒过点(1,0)；(3)a1，当x1时，y0；当0x1时，y0；0a1，当x1时，y0；当0x1时，y0；(4)a1，在(0，＋∞)上y＝logax为增函数；0a1，在(0，＋∞)上y＝logax为减函数3.幂函数的性质函数特征性质y＝x，y＝x3y＝x2y＝x12y＝x－1定义域RR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数非奇非偶奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增增x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0]时，减x∈(－∞，0)时，减定点(1,1)6.已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)f(x)g′(x)，且f(x)5＝axg(x)(a0，且a≠1)，fg＋f－g－＝52.若数列{fngn}的前n项和大于62，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．9[答案]A[思路分析]通过审题可以发现，题目中多处涉及fxgx的形式，x＝1时，即fg，x＝－1时，即f－g－，x＝n时，即fngn，又fxgx＝ax，故这是解题的切入点，构造函数F(x)＝fxgx，则问题迎刃而解．[解析]令F(x)＝fxgx，则F(x)＝ax，F′(x)＝fxgx－fxgxg2x0，∴F(x)单调递增，∴a1.∵F(1)＋F(－1)＝fg＋f－g－＝52＝a＋1a，∴a＝2，∴F(x)＝2x，{F(n)}的前n项和Sn＝21＋22＋…＋2n＝n－2－1＝2n＋1－262，∴2n＋164，∴n＋16，∴n5，∴n的最小值为6.7．下列函数图象中不正确的是()[答案]D[解析]由指数函数、对数函数的图象与性质知A、B正确，又C是B中函数图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，故C正确．∵y＝log2|x|＝log2xxlog2－xx是偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误．68．(文)若存在正数x使2x(x－a)1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)[答案]D[解析]由题意得，ax－(12)x(x0)，令f(x)＝x－(12)x，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)f(0)＝－1，∴a－1，故选D.(理)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(13)＝0，则不等式f(log18x)0的解集是()A．(0，12)B．(2，＋∞)C．(0，12)∪(2，＋∞)D．(12，1)∪(2，＋∞)[答案]C[解析]解法1：∵偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数，又f(13)＝0，∴f(－13)＝0，由f(log18x)0得，log18x13或log18x－13，∴0x12或x2，故选C.解法2：∵f(x)为偶函数，∴f(log18x)0化为f(|log18x|)0，∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f(13)＝0，∴|log18x|13，∴|log8x|13，∴log8x13或log8x－13，∴x2或0x12.[方法点拨]1.讨论方程的解的范围或个数，讨论函数的零点(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数式等)，可构造函数，利用函数图象交点的讨论来求解，图象交点的个数就是方程解的个数，正确作出函数的图象是解决此类问题的关键，要注意图形的准确全面．72．解不等式问题经常联系函数的图象借助函数的单调性，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．3．函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．9．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x3＋x－2的零点分别为x1、x2、x3，则()A．x3x1x2B．x1x3x2C．x2x3x1D．x1x2x3[答案]D[解析]x1＝－2x10，若x1，则g(x)＝x＋lnx1，∴0x21，x3＝1，∴x1x2x3.10．(文)命题p：函数f(x)＝ax－2(a0且a≠1)的图象恒过点(0，－2)；命题q：函数f(x)＝lg|x|(x≠0)有两个零点．则下列说法正确的是()A．“p或q”是真命题B．“p且q”是真命题C．¬p为假命题D．¬q为真命题[答案]A[解析]∵f(0)＝a0－2＝－1，∴p为假命题；令lg|x|＝0得，|x|＝1，∴x＝±1，故q为真命题，∴p∨q为真，p∧q为假，¬p为真，¬q为假，故选A.(理)已知函数f(x)＝ax＋12，x≤0log2x，x0(其中a∈R)，函数g(x)＝f[f(x)]＋1.下列关于函数g(x)的零点个数的判断，正确的是()A．当a0时，有4个零点；当a0时，有2个零点，当a＝0时，有无数个零点B．当a0时，有4个零点；当a0时，有3个零点，当a＝0时，有2个零点C．当a0时，有2个零点；当a≤0时，有1个零点D．当a≠0时，有2个零点；当a＝0时，有1个零点[答案]A[解析]取a＝1，令x＋12＝－1得x＝－32，令log2x＝－1得，x＝12.令x＋12＝－32得x＝－2，令log2x＝－32得x＝2－32，令log2x＝12得x＝2，令x＋12＝12得x＝0，由此可排除C、D；令a＝0，得f(x)＝12x，log2xx由log2x＝－1得x＝12，由f(x)＝12知，对8任意x≤0，有f(x)＝12，故a＝0时，g(x)有无数个零点．11．(文)(2014·中原名校第二次联考)函数y＝f(x＋π2)为定义在R上的偶函数，且当x≥π2时，f(x)＝(12)x＋sinx，则下列选项正确的是()A．f(3)f(1)f(2)B．f(2)f(1)f(3)C．f(2)f(3)f(1)D．f(3)f(2)f(1)[答案]A[解析]由条件知f(x)的图象关于直线x＝π2对称，∴f(1)＝f(π－1)，当π2≤x≤3π2时，f′(x)＝－(12)x·ln2＋cosx0，∴f(x)在[π2，3π2]上单调递减，∵π22π－133π2，∴f(2)f(π－1)f(3)，∴f(2)f(1)f(3)，故选A.(理)已知函数f(x