第3届国际物理奥林匹克竞赛试题

1历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第３届（1969年于捷克斯洛伐克的布尔诺）【题１】右图的力学系统由三辆车组成，质量分别为mA＝0.3kg，mB＝0.2kg，mC＝1.5kg。（a）沿水平方向作用于C车的力F很大。使A、B两车相对C车保持静止。求力F及绳子的张力。（b）C车静止，求A、B两车的加速度及绳子的张力。（忽略阻力和摩擦力，忽略滑轮和车轮的转动惯量）解：（a）A、B两车相对C车保持静止，A车在竖直方向没有加速度，因此它对绳的拉力为mAg。这个力使B车得到加速度gmmaBAB。又三车系统以相同的加速度运动，则：gmmmmmFBACBA)(由给定的数值得：aB＝aC＝aA＝1.5g＝14.7m/s2绳中的张力为：T＝mAg＝2.94N水平推力为：F＝29.4N（b）如果C车静止，则力mAg使质量mA＋mB加速，加速度为：BAAABmmgma＝0.6g＝5.88N绳中的张力为：T/＝mAg－mA×0.6g＝1.176NABCF2【题２】在质量为m1的铜量热器中装有质量为m2的水，共同的温度为t12；一块质量为m3、温度为t3的冰投入量热器中（如右图所示）。试求出在各种可能情形下的最终温度。计算中t3取负值。铜的比热c1＝0.1kcal/kg·0C，水的比热c2＝1kcal/kg·0C，冰的比热c3＝0.5kcal/kg·0C，冰的熔解热L＝80kcal/kg。解：可能存在三种不同的终态：（a）只有冰；（b）冰水共存；（c）只有水。（a）冰温度升高，但没有熔化，达到某一（负）温度ta；放出的热量和吸收的热量相等：c3m3（ta－t3）＝（c1m1＋c2m2）（t12－ta）＋m2L得出最终的温度为3332112333122211)(cmcmcmLmtcmtcmcmta（１）情况（a）的条件是ta＜０（注：指00C），如果上式的分子为负值，我们得到下列条件：（c1m1＋c2m2）t12＜―c3m3t3―m2L（２）（c）现在让我们讨论冰块全部熔化的情况。设它们最终的温度为tc，冰块吸收的热量等于量热器和水放出的热量：c3m3（0－t3）＋m3L＋c2m3tc＝（c1m1＋c2m2）（t12－tc）得出最终的温度为2322113333122211)(cmcmcmLmtcmtcmcmtc（３）这种情况只有在tc＞０时才能发生。取上式的分子为正值，得到下列条件：（c1m1＋c2m2）t12＞―c3m3t3＋m3L（４）（b）冰水共存这种情况是冰和水混合后都以00C共存于量热器中。根据（２）式和（４）式，条件为：―c3m3t3―m2L＜（c1m1＋c2m2）t12＜―c3m3t3＋m3L如果混合后有x克冰熔化了，则―c3m3t3＋xL＝（c1m1＋c2m2）t12故冰熔化了的质量为Ltcmtcmcmx333122211)(于是混合后，在量热器中有质量为（m3―x）的冰和质量为（m2＋x）的水。x为负值意味着有水结为冰，冰的质量增加。对于给定的数值，我们可以从公式容易得到最终的结果。m1c1t1m2c2t2m3c3t33【题３】在竖直平面内有半径R＝5cm的线圈（如图）。质量m＝1g的小球系在长度为l的绝缘轻绳上，从线圈的最高点悬挂着。当线圈和小球两者都带有Q＝9×10-8C的相同电量时，发现小球在垂直线圈平面的对称轴上处于平衡。求绳的长度。解：如果线圈上的全部电荷集中与一点，则库仑力为22lQkF线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为，它们在轴上的投影为Fn＝Fcos。小球的重量为mg。由上图可得：22sinlQkmglRFmg所以：32mgRkQl＝7.2cm（k＝9×109Nm2/C2）（注：以上解答为原解，可能有错）另解：如解答图3.3.1，在线圈上取一电荷微元，长为d，电荷量为d，为线电荷密度，2πR＝Q。则微元电荷对小球的作用力为：2ldQkFi把Fi沿平行轴和垂直轴分解：Fni＝Ficos解答图Fti＝Fisin在线圈上取与上电荷微元对称的电荷微元，如解答图3.3.2。对称的电荷微元，长也为d，电荷量为d，它对小球的作用力为：2/ldQkFi把Fi沿平行轴和垂直轴分解：Fn/i＝Fi/cos解答图3.3.2Ft/i＝Fi/sinFni与Fn/i方向相同，合力为大小相加，Fti与Ft/i方向相反，合力为大小相减，等于零。所以线圈对小球作用的库仑力为：Fn＝∑Fni＝coscos2222lQklQk对小球受力分析，小球受三力作用：重力mg、库仑力Fn、拉力T，如解答图3.3.3。则：mgFRlncos解答图3.3.3mgFFnlRFiFnilRFtiFiFnilRFtimgFFnlRT4把Fn＝cos22lQk代入上式解得：32mgRkQl＝7.2cm（k＝9×109Nm2/C2）【题４】一块平板玻璃放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两者之间有一层平行的薄空气隙。波长在0.4μm到1.15μm之间的电磁波垂直入射到平板上，经空气隙的两边表面反射而发生干涉。在此波段中只有两种波长获得极大的增强，其一是1＝0.4μm。求空气隙的厚度。解：光在厚度为d的空气隙中往返，经过的距离为2d。光被玻璃反射时，还经受1800的相位改变。于是对波长为1的光，增强的条件为：2d＝2111k（k1＝0，1，2，3，……）类似地，对其它波长的光，产生极大增强的条件是：2d＝2222k（k2＝0，1，2，3，……）比较这两个条件，得到：12211212kk根据波长给定的范围，得到：875.24.015.112＝这个比值的最小可能值为1，最大可能值为2.875。因此我们得到关于k1和k2的下列条件：１＜121221kk＜2.875（１）对不同的k1和k2，我们算出上述分数值，得到下表：k1k20123450135791110.3311.672.3333.6720.20.611.41.82.230.140.430.7111.291.5740.110.330.560.7811.2250.090.270.450.640.811只有分数值满足条件（１）式的各个k1和k2对才是合格的，我们已在表格中算出。但其中只有一对是允许的。这就是说，我们应当找出这样的一列，其中只能有一对是允许的k1和k2。从表中看出，仅有的是k1＝2，k2＝1这一对，其分数值是1.67，这就是解答。d5对于1＝0.4μm的光，根据2d＝2×0.4＋0.2＝1μm，得到空气隙的厚度为d＝0.5μm由2×0.5＝222得到第二个波长为2＝0.667μm【实验题】给定一闭合电路，它是由已知电阻R、未知电阻X以及内阻可以忽略的电源组成的。电阻X是可调电阻器，由引线、毫米标尺、滑动接触块组成。另一电路由干电池和零点在中心的电流计组成，它与主电路的连接方式使得没有电流流过电流计。试测定电阻X及端电压之比。EURXxEURXy解答图3.5.1解答图3.5.2解答：联接两种补偿电路，如解答图3.5.1和解答图3.5.2。第一次测量不包括R。滑动接触块的位置在第一次测量中由比率x给出，在第二次测量中由y给出，在此两中测量下，电阻值之比等于电势差之比，所以有XRxXUE，XRyXRUE解得：)1(yxRX把)1(yxRX代入XRxXUE得：yxxUE1