力学试题精选

精编物理竞赛习题1．一根长绳系于A、D两点，绳上B、C两点各自悬挂一重量为G=10N的物体，长绳质量不计，如图1所示，AB、CD段绳和竖直线分别成α=30º和β=60º的角，试求三段绳中张力T1、T2和T3，并求出BC段绳与竖直线间的夹角θ．2．两根完全一样的梁木各以其一端支持于光滑的尖棱上，如图2所示．在两根梁木之间靠摩擦力而夹住一圆柱体A，在梁木的下面用一根绳子B把它们连起来，绳的两端系在钉入梁木的钉子上，钉子不碰地．设已知圆柱体A的轴心和绳之间的距离h=20cm，每一根梁木的长为l=1.5m，重量为P1=220N，圆柱体的重量P2=20N，求绳中的张力T以及圆柱体给两梁木的压力F．3．如图3所示，一击球手在t=0时刻击出垒球，垒球以与地面夹角为θ、大小为v0的初速度飞离A点，最终击中B点．在与B点相距x0的C点上，站有一外野手，当球打出时即开始以匀速v1向B点跑去，并与球同时到达B点．证明：对于奔跑的外野手来说，球的tan随时间线性的增加，α是球对地的仰角．（人可看作质点）4．有一小球，从某高度为h处以初速度v沿水平方向抛出，下落到地面上，发生碰撞后损失一部分能量．已知竖直方向的分速度碰撞后与碰撞前之比为k（k1）．设水平方向无摩擦，因而水平方向分速度大小不变．试求从抛出小球到其停止跳跃之点的水平距离．5．在光滑平面上一点，以速度v抛射一质点，v的方向与水平面成α角．设质点与平面间的恢复系数为e．试求质点停止反跳前经过的水平距离．6．一皮球从距地面H处自由落下，与地面发生非弹性碰撞，其恢复系数为e．如忽略每次碰撞瞬时所需时间，试求在小球开始下落，然后与地面相互碰撞到最后静止在地面上这段时间中：（1）弹跳动所经历的总时间；（2）皮球上下往返的总路程．7．如图4所示，以速度v发射以质点，v与水平方向的夹角为α，发射点处在一光滑斜面上，斜面于水平方向的夹角为θ，质点于斜面的碰撞是完全弹性的．证明：如果cotθcot（α－θ）为一整数，质点将逐点返跳到发射点．7．两人举行非凡条件下的转轮手枪决斗．他们站在半径为R，以角速度ω转动着的旋转台上射击．第一个决斗者甲站在转台的中心O处，第二个决斗者乙站在转台的边缘处，子弹的发射速度为v，要想战胜对手，他们应该怎样瞄准？哪一个决斗者处于更有利条件？8．质量为m的摆球用细线悬于架子上，架子固定在小车上，如图5所示．在下述诸情况中，求稳定时摆线的方向（即摆线与竖直线所成的角α）和线中的张力T．（1）小车以匀加速a沿水平直线运动；（2）小车自由地从斜面上滑下，斜面的倾角为θ；（3）用与斜面平行的加速度a把小车沿斜面往上推；DABCθT1T2T3GGα=30ºβ=60º图1hllB图2Bαx0LACθv1v0D图3αθv图4αm图5（4）以同样大的加速度a把小车自斜面上推下来．9．如图6所示，水平桌面上平放共计54张的一叠纸牌，每一张的质量相同．用一根手指以竖直向下的力压第一张牌，并以一定速度向右移动手指，确保手指与第一张牌之间有相对滑动．引入mgN以表征手指向下压力的大小，其中m为每张纸牌的质量．设手指与第一张牌之间的摩擦因数为μ1，牌间摩擦因数均为μ2，第54张纸牌与桌面之间的摩擦因数为μ3，且有μ1μ2μ3．（1）第2张纸牌到第54张纸牌之间是否可能发生相对滑动？（2）α很小时，54张牌都不动，这是纸牌组的一种可能状态；α稍大一些，第1张纸牌向右加速，其余牌不动，这是纸牌组的又一种可能状态；……．如果第一张纸牌向右滑动的加速度大于第二张到第54张纸牌共同向右滑动的加速度，试分析α与μ1、μ2、μ3之间的关系．10．（1）三个质量均为m的质量A、B、C组成一边长为a的等边三角形，如图7所示．质点之间有万有引力作用，为使此三角形保持不变，三个质点皆应以角速度ω绕通过它们的质心O并垂直于三角形平面的轴旋转．试求此角速度的大小（将结果用m、a以及万有引力常数G表示）．（2）现将上述三个质量相同的质点换成质量分别为mA、mB、mC（mA≠mB≠mC）的质点，如仍欲保持上述等边三角形不变，此时三个质点皆以角速度绕通过新的质心O并垂直于三角形下面的轴旋转，试求此角速度的大小．11．我国第一颗人造地球卫星的远地点距离为H1=439km，近地点为H2=238km，卫星运行周期为T=114min，地球半径为6370km．（1）求卫星运行轨道的偏心率e，以及在近地点、远地点的速度；（2）假若此卫星原来是在地面H1高处作圆周运动，之后又改为作此椭圆运动的，试求原来作圆周运动的速度和周期．12．有一长为L，质量为m的铁链，质量是均匀分布的，开始时长为x0的一段垂在桌面下，用手拉住A端使整个铁链静止不动，如图8所示，然后放手让它滑下．如果在铁链两端各拴上一个质量为M直径极小的小球，再重复上述的做法．问在上述两种情况下：（1）在铁链上端离开桌面时，其下落的速度哪个大？（2）链条滑动的加速度哪个大？13．假定地球是一个均匀的圆球，其上覆盖着海水．当地球以角速度ω自转时，海面将呈扁球形．试求海水在两极与赤道处深度差的表示式．假定忽略海水自身的引力，且海水的深度远小于地球的半径．14．三个半径同为R、质量同为m的均质光滑小球放在光滑的水平桌面上，用一根不可伸长的均匀橡皮筋把它们约束起来，如图9所示．将一个半径也为R、质量为3m的均质光滑小球放在3个小球中间的正上方，因受橡皮筋约束，下面3个小球并未分离．试求：（1）放置上面的小球后，橡皮筋张力的增量T；（2）将橡皮筋剪断后，上面的小球碰到桌面时的速度v．15．质量为m的人造卫星作半径为r0的圆轨道飞行，地球质量为M．（1）试求卫星的总机械能E；（2）若卫星运动中受到微弱的摩擦阻力f（常量），则将缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球．因····v541图6OABC图7O4O1O2O3图9x0ABL－x0H图8f很小，轨道半径变化非常缓慢，每周的旋转均可近似处理成半径为r的圆轨道运动，但r将逐周缩短．试求在r轨道上旋转一周，r的改变量r及卫星动能Ek的改变量kE．16．宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍，因α量很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图10所示，飞船喷气质量可忽略不计．（1）试求飞船新轨道的近火星点的高度h近和远火星点高度h远；（2）设飞船原来的运动速度为v0，试计算新轨道的运行周期T．17．从地球表面向火星发射火星探测器，设地球和火星都在同一平面上绕太阳作圆周运动，火星轨道半径Rm为地球轨道半径R0的1.500倍．简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造卫星．第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上，如图11中a所示．（1）为使探测器成为沿地球轨道运行的人造卫星，必须加速探测器，应使之在地面附近获得多大的速度（相对于地球）？（2）当探测器脱离地球并沿着地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60º，如图11中b所示．问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面？（时间计算仅需精确到日）已知地球半径为R0=6.4×106m，重力加速度可取g=9.8m/s2．18．有一质量为M、斜面倾角为α的尖劈，放置在光滑的水平面上，又有一质量为m的小球从h高处落至该斜面上，与斜面发生完全弹性碰撞，如图12所示．求小球第二次与该斜面碰撞点B与第一次碰撞点A之间在该斜面上的距离s．19．如图13所示，一轻质弹簧，其劲度系数为k，竖直地固定在地面上，弹簧的上端放置一质量为M的平板，它们静止后，有一质量为m的小球在距此平板高h处开始由静止自由下落，且Mm．（1）若小球与平板的碰撞是完全弹性的，试求在碰撞后，小球从原来的平板位置能弹起的最大高度H是多少？（2）若碰撞为完全非弹性的，平板对弹簧进一步压缩的最大长度x2是多少？在此碰撞过程中小球和平板的动能之和损失多少？20．将一长度为PQ=l、质量为M的平板放在劲度系数为k的弹簧的上端、弹簧的下端固定在地面上，待它们静止平衡后，在距平板上板上方h处以速度v0水平抛出一质量为m的小球（Mm），使小球与球与平板发生完全弹性碰撞，如图14所示．若不计vOABPav0vP图10火星太阳地球R0探测器b)60º火星太阳地球RmR0探测器a)图11图12AABααα图13mMh弹簧的质量和摩擦摩擦阻力，试求：（1）弹簧的最大压缩距离x；（2）若使小球与平板只有一次碰撞，则v0应在什么范围内？21．一架宇宙飞船的质量为m=1.2×104kg，在月球上空h=1.0×105m处围绕月球的圆轨道上旋转．为了降落在月球表面上，喷气引擎在X点作了短时间发动．从喷口喷出高温气体的速度相对宇宙飞船为v=1.0×104m/s．月球的半径为R=1.7×106m，月球表面的重力加速度为g=1.7m/s2，飞船可以用两种不同的方式到达月球，如图15所示．试计算在下面二种情况下所需的燃料值．（1）到达月球的A点，该点与X点正好相对；（2）在X点给出一个向月球中心的动量后，与月球表面相切于B点．22．质量为m的登月器连接在质量为M=2m的航天飞机上一起绕月球作圆周运动，其轨道半径是月球半径Rm的3倍．某一时刻，将登月器相对航天飞机向运动方向射出后，登月器仍沿原方向运动，并沿如图16所示的椭圆轨道登上月球表面，在月球表面逗留一段时间后，经快速发动沿原椭圆轨道回到脱离点与航天飞机实现对接，试求登月器在月球表面可逗留多长时间？已知月球表面的重力加速度gm=1.62m/s2，月球的半径Rm=1.74×106m．23．在天花板下用两根长度同为l的轻绳悬挂一质量为M的光滑匀质平板，平板的中央有一质量为m的光滑小球．开始时系统处于静止的水平平衡状态．而后如图17所示，使板有一水平方向的小初速度v0，此板便会作小角度摆动，试求其振动周期．24．如图18所示，A是某种材料制成的小球，B为某种材料制成的均匀钢性薄球壳，假设A与B的碰撞是完全弹性的，B与桌面的碰撞是完全非弹性的．已知球壳的质量为m，内半径为a，放置在水平的无弹性的桌面上，小球A的质量亦为m，通过一自然长度为a的柔软的弹性轻绳悬挂在球壳内壁的最高处，且mgka29，起初将小球拉到球壳内的最低处，然后轻轻释放，试详细地、定量的讨论小球以后的运动．25．如图19所示，一质量为m1=0.1kg的小球A，从半径为R=0.8m的41圆形轨道自由落下，到该轨道的最低点时，与放置在该点的另一质量为m2=0.4kg，密度为ρ=0.5×103kg/m3的小球B发生完全弹性碰撞后，小球B落入河中而未到河底又浮上河面，若小球B最初距河面的距离为H=5m，水的密度为ρ0=1.0×103kg/m3，取g=10m/s2，不计摩擦及水的阻力，试求小球B浮出水面时离河面岸的水平距离s和在水中下沉的最大深度h．25．冰的密度记为ρ1，海水密度记为ρ2，有ρ1ρ2．（1）高为H的圆柱形冰块竖立在海水中，将其轻轻按下，直到顶部在水面下方图14hQPv0AXBX90˚图15mMRm3Rm图16v0Mmll图17图18OABa图19HsBAh2122Hh处，而后让其在竖直方向上自由运动．略去运动方向上的所有阻力，试求冰块运动周期T1．（2）金字塔形（正四棱锥）的冰山漂浮在海水中，平衡时塔顶离水面高度为h，试求冰山自身高度H和冰山在平衡位置附近作竖直方向小振动的周期T2．26．为了测量某个体膨胀系数很小的容器的体膨胀系数，采用如下的方法：先将容器内装满体膨胀系数为β的某种液体，并称出这时容器内液体的净重为G0，再将体膨胀系数为γ的玻璃球放入其中，如图20所示．然后将温度分别提高t1˚C、t2˚C，