高中物理竞赛辅导-共点力的平衡

1高中物理竞赛辅导（2）静力学力和运动共点力的平衡n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为共点力，如图1所示。作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡状态的条件是：合力为零。（1）用分量式表示：（2）[例1]半径为R的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为，绳圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，最后停留在平衡位置。考虑重力，不计摩擦。①设平衡时绳圈长，求k值。②若，求绳圈的平衡位置。2分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。在绳圈上任取一小元段，长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R指向球外；两端张力，张力的合力为位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经线所在平面内，如图示（c）所示。将它们沿经线的切向和法向分解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为：重力沿径线切向分力为：（2-2）当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。（2-3）由以上三式得（2-4）式中3由题设：。把这些数据代入（2-4）式得。于是。（2）若时，C=2，而。此时（2-4）式变成tgθ=2sinθ-1,即sinθ+cosθ=sin2θ,平方后得。在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。[例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。分析：设每个球的质量为m，半径为r，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。又设球形碗的半径为R，O'为球形碗的球心，过下面四球的球心联成的正方形的一条对角线AB作铅直剖面。如图3（b）所示。当系统平衡时，每个球所受的合力为零。由于所有的接触都是光滑的，所以作用在每一个球上的力必通过该球球心。上面的一个球在平衡时，其重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N，大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。4下面四个球，由于分布的对称性，每个球受另外两个球的合作用力是一个水平力，方向垂直于碗的轴线。除水平力外，还有重力mg，碗对球的支力，上球的压力，这四个力都通过该球球心，并位于同一平面内，如图3(b)所示。解：以A球为隔离体，把它所受的力分解为水平分量和垂直分量。以上球为隔离体联立以上三式解出：。当下面四球之间的相互作用为零，即N=0，得。如时，下面四球将互相分离。又由图形（b）看出。代入（2-4）式得。此时下面的四个球互相分离，。2.共面力的平衡作用在刚体上的所有力都位于同一平面，这些力就叫做共面力。设共面力所在的平面是xy平面，刚体在平面力作用下平衡的条件是：合力为零和对任一点所有力矩之和为零，即5（3）[例3]有6个完全相同的刚性长薄片，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量忽略不。将此6个薄片架在一只水平的碗上，使每个薄片一端的小突起恰好落在碗口上，另一端小突起位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图表（a）所示。若将一质量为m的质点放置在薄片上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起的距离。求：薄片中点所受的（由另一薄片的小突起所施的）压力。分析：设对中点所施的压力为P，方向向下；将为隔离体，以为支点，可看出所受的压力为；同理将为隔离体，以为支点可得所受的压力考虑薄片，以为支点得所受的压力是。解：考虑薄片，以为支点的力矩平衡方程，6解出：。[例4]一锁链由2n个相同的链环组成，每两个链环间的接触是光滑的，锁链两端分别在一不光滑的水平铁丝上滑动，它们的摩擦系数μ。证明：当锁链在铁丝上相对静止时，末个链环与铅垂线交角为，分析：如图5（a）所示，由于对称性，锁链两端与铁丝接触点0，O'的垂直作用力N=nmg，m是每个链环的质量。铁丝对锁链端点的摩擦力。解：设链环的长为l，重心在其中心，取右端第一个链环为隔离体，当它平衡时对通过A点垂直于纸面的轴的合力矩为零，以N、f之值代入，即可解得：。3、物体平衡的种类下面讨论物体在重力和支力作用下所处的各种平衡状态，图6表示放在凹面底端、凸面顶端和平面上的小球，它们所受的重力和支力等值反向，都处在平衡位置。由于某种因素，小球稍稍偏离平衡位置，在凹面底部的小球重心升高，重力势能增大，重力mg和支力N不再保持平衡，合力指向原来的平衡位置，小球会恢复平衡，这种平衡叫做稳定平衡。位于凸面端的小球稍微偏离平衡位置后，重心降低，重力势能减少，重力和支力也不再平衡，合力指向远离原来平衡位置的方向，这种平衡叫做不稳定平衡。平面上的小球偏离原来位置后，重心的高度和重力势能不变，小球仍保持平衡，这种平衡叫做随遇平衡。[例5]任意横截面的柱体A静止在固定柱体A'上面，如图7（a）所示。G是A的重心，G到接触点的距离是h，D、7D'是这两个截面接触点的曲率中心；P、P'是相应的曲率半径，求：h、p、p'满足什么关系时，A处于稳定平衡状态？并加以讨论。分析：当A稍微偏离平衡位置，接触点相对于D'转过角度，而DG与DD'相交θ角，如图7(b)所示，和θ都是很小的角度，显然PQ=P'Q'。设A的质量为m，由图7(b)知质心G到D'的垂直距离H=(P+P')COS-(p-h)=COS(θ+)。若以D'为零势能的参考点，则当A稍微偏离平衡位置时，其重力势能为（5-2）当A在平衡位置时，重力势能是（5-3）解：由于和θ是小量，因此，（5-2）可写作。。（5-4）于是，势能增加，相应于稳定平衡；，势能减少，相应于不稳定平衡。因此8即稳定平衡的条件为（5-5）不稳定平衡条件为（5-6）如果上面物体A的接触面为平面，于是稳定平衡条件为，否则是不稳定平衡。如果物体A放置在平面上，则，稳定平衡的条件为，否则就是不稳定平衡。4、运动定律的应用应用牛顿运动定律解决具体问题时，首先要明确讨论的是哪一个（或哪一些）物体的运动，画出隔离体力图。其次要讨论物体的运动情况特别要注意加速度，因为它起着将运动定律和运动学联结起来的作用。对隔离体分析了受力情况和运动情况后，就可列出矢量式，但要求出结果还必须建立坐标系，写出运动方程的分量式。质点动力学问题大致分成两类：（1）已知质点的运动情况，求其它物体施于该质点的作用力；（2）已知其它物体施于质点的作用力，求质点运动情况。[例6]图8（a）所示。两个木块A和B，质量分别为，紧挨着并排放在水平桌面上，A、B间的接触面垂直于纸面且与水平成θ角，A、B间接触面是光滑的，但它们与桌面存在摩擦，静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ，开始时A、B都静止，现施一水平推力F于A，要使A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动。则（1）μ的数值应满足什么条件？（2）推力F的最大值不能超过多少？（只考虑平动）？9分析：A、B的受力图如图8(b)所示。由于A、B间接触面是光滑的，它们之间相互作用力N垂直于接触面。解：（1）若A、B之间不发生相对滑动，则A在竖直方向的加速度为零，即。（6-1）B以加速度a0向右运动联立以上三式，解出：（2）在已满足（6-4）式的情况下，A、B的水平加速度均为a，于是由A：由B：解出A、B间不发生相对滑动的[例7]固定在粗糙桌面上的三棱柱C，质量千克，滑块A、B质量千克，千克。定滑轮质量不计联接A、B的轻绳不可伸长。开始时使A、B、C都处于静止状态，且滑轮两边轻绳伸直，今以F=26.5牛的水平推力作用于C，同时释放A、B、C。若C沿桌面向左滑行，其加速度，B相对于桌面无水平方向位移（绳子一直是绷紧的）。求：C与桌面间的摩擦系数μ。已知：。10分析：这是一个具有相对运动的动力学问题，以桌面为静止参照物，三棱柱C为运动参照系，则滑块相对于桌面的加速度（绝对加速度）a，等于滑块相对于三棱柱的加速度（相对加速度）a'与三棱柱相对于桌面的加速度（牵连加速度）a0之和。。由题意：滑块B相对于桌面无水平方向位移，所以B的绝对加速度沿水平x方向的分量为零。，于是滑块的相对加速度的大小。由于绳子不可伸长，又是绷紧的，所以A、B的相对加速度的数值是相等的但方向不同，由图9（b）所示。滑块A的绝对加速度的两个分量：滑块B的绝对加速度的两个分量：解：对于A、B、C组成的系统，在x方向受到外力是推力F和摩擦力f。于是：将有关数据代入，解出f=10牛。11系统在y方向受到的外力是：桌面作用于C的支持力N，方向+y；A、B、C所受的重力为，方向-y，所以将有关数据代入，得N=93牛。最后得摩擦系数。习题1．质量为m，半径为R的球放在竖直墙和板AB之间。A端用绞链固定在墙上，B端用水平细绳拉住，如图10所示。板长l，和墙夹角a。不计摩擦及板的质量。求：（1）绳的拉力T；（2）角a为何值时，T有最小值。2．用一个水平放置的半径为R的圆柱形光滑槽面，其轴线通过O点，槽内放着两个半径均为r的光滑圆柱体A、B，如图11所示。质量分别为，且r=R/3，求：圆柱体A、B平衡时，OA线与竖直线间的夹角a是多少？3．一条轻绳跨过同一高度上的两轻滑轮。两端分别栓上质量为4千克和2千克的物体，滑轮间的一段绳上挂第三个物体M，如图12所示。试问：M的质量小于何值时，三个物体平衡将被破坏？不考虑滑轮大小和摩擦。（千克）124．底边长为a，高度为b的长方形匀质的物块置于斜面上，斜面和物体之间的静摩擦系数为μ，斜面的倾角为θ，当θ足够小时，物块静止在斜面上（如图13）。如逐渐将倾角增大，当θ取某个临界值时，物块或将开始滑动，或将翻倒。试说明在什么条件下出现的是滑动；在什么条件下出现的是翻倒。（当，木块滑动；，木块翻倒）5．两个质量分别为的小环能沿着一轻绳光滑地滑动，绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角度θ。在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使在其两边（如图14）。设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，直杆与轻环两边的绳夹角。试证：。6．在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB，如图15示。设各接触面的摩擦角均为，求平衡时杆AB与与斜面AO的交角θ。已知斜面BO和水平面交角a。7．两个相同的等腰楔子，质量均为M，顶角为2a，把它们的底面靠在一起，放置于粗糙水平桌面上，底面与桌面之间的静摩擦系数为μ，底面边长为l，把一个质量为m，半径为r的光滑球放置其间。由图16所示。试证：平衡的必要条件是：。138．一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为a、b，且长轴的长度为c，证明：蛋尖的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立。如图17所示。并求碗的半径r。9．A、B、C三物体，质量分别为，A、B叠放在光滑的水平桌面上（如图18），A、B之间的静摩擦系数为μ，不计绳与滑轮之间的摩擦及质量。整个系统由静止释放。讨论：A与B不发生相对运动的条件。10．如图19所示，在水平光滑的平面上，质量分别为的两个质点，用轻质弹簧联在一起，并以长为的细线拴在轴O上，均以角速度ω绕轴O作匀速圆周运动。两球间的距离。如将线烧断。求：在线刚烧断的瞬间，的加速度。