用单摆测定重力加速度

二、用单摆测定重力加速度单摆是一个物理模型，理想的单摆摆线的伸缩和质量均忽略不计，摆球较重，且球的直径比摆线长度小得多。因摆球受到的回复力是F=mgsinθ，只有当θ50时，sinθ≌θ（θ用弧度制表示)，单摆的振动才可以作为简谐运动。【重要知识提示】1．实验目的(1)学会用单摆测定当地的重力加速度。(2)能正确使用秒表。(3)巩固和加深对单摆周期公式的理解。(4)学习用累积法减小相对误差的方法。2．实验原理物理学中的单摆是指在细线的一端系一小球，另一端固定于悬点。若线的伸缩和质量可忽略，小球的直径远小于线长，这样的装置称为单摆。单摆发生机械振动时，若摆角小于50，这时的振动可以看成是简谐运动。由简谐运动知识可以导出单摆的振动周期：gLT2式中L是摆长，g是当地的重力加速度。将上式变形为224TLg可以看出，只要能测定出单摆的摆长和对应的振动周期，就很容易计算出重力加速度g的数值了。由于一般单摆的周期都不长，例如摆长1m左右的单摆其周期约为2s。所以依靠人为的秒表计时产生的相对误差会很大。针对这一问题本实验采用累积法计时。即不是测定一个周期，而是测定几十个周期，例如30或50个周期。这样一来，人用秒表计时过程中产生的误差与几十个周期的总时间相比就微乎其微了。这种用累积法减小相对误差的方法在物理实验中经常会遇到，希望读者要认真领会其精神实质，为以后的应用打下基础。3．实验器材长约lm的细丝线一根，球心开有小孔的金属小球一个，带有铁夹的铁架台一个，毫米刻度尺一根，秒表一块，游标卡尺一把。4．实验步骤及安装调试(1)安装①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。②把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图3-12所示。实验时p上汶个位詈为基础。(2)实验步骤①用米尺测出悬线长度L(准确到毫米)，用游标卡尺测出摆球的直径d。②将摆球从平衡位置拉开一个很小角度(不超过50)，然后放开摆球，使摆球在竖直平面内摆动。③用秒表测出单摆完成30次或50次全振动的时间芒(注意记振动次数时，以摆线通过标记为准)。④计算出平均完成一次全振动所用的时间，这个时间就是单摆的振动周期。⑤改变摆长，重做几次实验，每次都要记录摆线长度L，振动次数以和振动总时间t。(3)实验记录⑥根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度，求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即是本地区的重力加速度的平均值。⑦将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较，分析产生误差的可能原因。5．注意事项(1)实验所用的单摆应符合理论要求，即摆线要细且弹性要小，摆球用密度和质量较大的小球，并且要在摆角小于50的情况下进行实验。(2)要使单摆在竖直平面内振动，不能使其形成圆锥摆或摆球转动，方法是摆球拉到一定位置后由静止释放。(3)测量摆长时，不能漏记摆球的半径。(4)测单摆周期时，应从摆球通过平衡位置开始记时，并且采用倒数到0开始记时计数的方法，即…4，3，2，1，0，在数到“零”的同时按下秒表开始记时计数。(5)要注意进行多次测量，并取平均值。【典型范例导析】【例1】用单摆测定重力加速度的数据处理方法有哪些?试用自己的语言叙述误差来源及误差分析。解析(1)数据处理方法方法一(公式法)根据公式224TLg可以计算出重力加速度的数值。但在实际实验中上式应改写成222)2'(4tdLng(L’为摆线长度)gl=__________=__________，g2=__________=__________，g3=__________=__________，取平均值g=__________。方法二(图象法)作T2-L图象。由224TLg可以知道T2-L图象应是一条过原点的直线，其斜率k的物理意义是g24。所以作出T2-L图象后求斜率k(LTk2)，然后可求出重力加速度kg24。（2）实验误差来源与分析①本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，是单摆还是复摆，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等等。只要注意了上面这些方面，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差的程度。②本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始记时，并采用倒记时计数的方法，不能多记或漏记振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。③本实验中进行长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可。时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可。【例2】在用单摆测定重力加速度实验中：(1)为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些?将你所选用的器材前的字母填在题后的横线上。A．长1m左右的细绳；B.长30era左右的细绳；C．直径2cm的铅球；D．直径2cm的铁球；E．秒表；F．时钟；G．最小刻度是厘米的直尺；H．最小刻度是毫米的直尺；所选器材是____________________________________________________________.(2)实验时对摆线偏离竖直线的要求是___________________；理由是_____________________________________________________________________.解析(1)所选器材为A、C、E、H。(2)偏角要求小于50。根据本实验的原理：振动的单摆，当摆角小于50时，其振动周期与摆长的平力‘根成正比，与重力加速度的平方根成反比，而与偏角的大小(振幅)、摆球的质量无关，周期公式为：gLT2。经变换得224TLg。因此，在实验中只要测出单摆的摆长L和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值，本实验的目的是测出g的值，而不是验证单摆的振动规律。如果在实验中选用较短的摆线，既会增大摆长的测量误差，又不易于保证偏角9小于50。摆线较长，摆角满足小于50的要求，单摆的振动缓慢，方便记数和记时。所以应选A。摆球应尽量选重的，所以选C。因为单摆振动周期丁的测量误差对重力加速度g的影响较大，所以计时工具应选精确度高一些的秒表。摆长的测量误差同样对g的影响较大，也应选精确度较高的最小刻度为毫米的直尺。(2)因为当摆球振动时，球所受的回复力F=mgsinθ，只有当θ50时，sinθ≌θ此摆才称为单摆，其振动才是简谐振动，周期gLT2的关系式才成立。【例3】在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期丁计算重力加速度的公式是g=_____。如果已知摆球直径为2.OOcm,让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图3-13示，那么单摆摆长是_____。如果测定了40次全振动的时间如图3-14中秒表所示，那么秒表读数是_____s。单摆的摆动周期是_____s。解析这是一道考查考生观察能力和刻度尺及秒表的读数方法的考题。关于秒表的读数问题，上海市的高考题中不只一次出现过，但是学生仍不会读，主要原因是不清楚分钟(短针)和秒钟(长针)之间的关糸。凼此此题仍具有较强的考查功能。本题答案为：224TLg，0.8740m或87.40cm，75.2s，1.88s。单摆的摆长应等于测量值88.40cm减去摆球的半径lcm，得到87.40cm。【例4】某同学在用单摆测定重力加速度的实验中，测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录表格如下：以L为横坐标，T2为纵坐标，作出T2-L图线：并利用此图线求重力加速度。解析由单摆周期公式gLT2可得LgT224，所以T2-L图线是过坐标原点的一条直线，直线斜率是k=gT224。因此，g=k24，作出图象如图3—15所示，求得直线斜率为k=4.00，即g=k24=00.44)14.3(2=9.86(m／s2)【能力跟踪训练】1．某同学在做利用单摆测定重力加速度实验中，如果测得的g值偏小，可能原因是()A．测摆线长时摆线拉得过紧B．摆线上端悬点未固定j振动中出现松动使摆线长度增加了C．开始记时时，秒表按下时刻滞后于单摆振动的记数D．实验中误将49次全振动记为50次全振动2．一位同学用单摆做测量重力加速度实验，他将摆挂起后，进行了如下步骤：A．测摆长L：用米尺量出摆线的长度；B．测周期丁：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始记时，同时将此次通过最低点作为第1次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按下秒表停止记时，读出这段时间t，算出单摆的周期T=t/60；C.将所测得的L和T代人单摆的周期公式gLT2，算出g，将它作为实验的最后结果写入实验报告中去。(不要求进行误差计算)。上述步骤中错误或遗漏的步骤有________，应改正为________________________.3．用单摆测定重力加速度实验中，得到如下一组有关数据：(1)利用上述数据在图3—16中描出图线(2)利用图线，取4π2=39.5，则重力加速度大小为________。(3)在实验中，若测得g值偏小，可能是下列原因中的()A．计算摆长时，只考虑悬线长度，而未加小球半径B．测量周期时，将九次全振动误记为n+1次全振动C．计算摆长时，将悬线长加小球直径D.单摆振动时，振幅偏小4．在用单摆测重力加速度实验中，操作时，必须注意下面的问题。请在横线上填上题设中的关键问题。A．摆球要选用密度较________而直径较________的小球。摆线要选取较________。且线径较________和不易伸长的线。B.在固定摆线上端时应用铁夹夹紧，不要缠绕，悬点要固定不变，以免在摆动过程中________发生变化。C．摆长是从________到________的距离，测量时要尽量准确。D．实验时必须控制摆角在________以内，并且要让单摆在________内摆动。E．测量单摆周期时，等单摆自由振动几次之后，从摆球经过________位置开始记时，因为这时摆球的速度________，容易观察，可以减小误差。5．图3—17是一只秒表，这只秒表最小分度是________，最大计时是________。此表所记录的时间示数为________。6。在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g=________。某同学做此实验时，测得摆球直径为16.0mm，用米尺测量摆长，结果如图3-l8所示。测量单摆完成38次全振动的时间的秒表读数如图3—19所示，则摆长L=________cm，秒表读数为________s，当地重力加速度为g=________m／s2(保留三位有效数字)。【答案与提示】1．B(根据224TLg知，g偏小可能原来是L的测量值偏小或T的测量值偏大。选项A中摆线拉得过紧，使L变大，因此测得g偏大；选项B中，在摆长已测定情况下，由于悬点松动使摆长增加，实际振动的摆长大于测量值，所以测量譬值也偏小。选项C和D均为测得的周期偏小，故g值偏大。)2．A、B、C三处均有遗漏和错误的地方。A改正为：要用游标卡尺测摆球的直径d，摆长L=摆线长(l)+摆球半径(d/2)(或用米尺测量摆长时应取悬点至球心的距离)。B改正为：T=t/29.5．c改正为：应多次测量，然后取平均值，将平均值的g作为实验的最后结果。这里所要考查的是学生是否会正确测量摆长和周期，尤其是要理解多次测量、取平均值的实际意义。3．(1)如图3—20(2)9.875m／s2(由图可知，只有第1次测量数据偏离直线较远，也说明摆长太短，测量误差较大。从第2次至第5次的结果均在图线上。△T2=(4.8—2.4)s2=2.4s2，△L=(1.2—0.6)m=0.6m，k’=2TL，根据例3知，在T2-L图象中，g=k24，k为图线的斜率，且k=LT2，此处k’=2TL，k=1/k’，所以g='4k=24TL=39.5×4.26.0m／s2=9