第31届国际物理奥林匹克竞赛试题理论试题

第31届国际物理奥林匹克竞赛试题理论试题英国莱斯特2000年7月10日时间5小时题1A某蹦迪运动员系在一根长弹性绳子的一端，绳的另一端固定在一座高桥上，他自静止高桥向下面的河流下落，末与水面相触，他的质量为m，绳子的自然长度为L，绳子的力常数（使绳子伸长lm所需的力）为k，重力场强度为g。求出下面各量的表达式。（a）运动员在第一次达到瞬时静止前所落下的距离y。（b）他在下落过程中所达到的最大速率v。（c）他在第一次达到瞬时静止前的下落过程所经历的时间t。设运动员可以视为系于绳子一端的质点，与m相比绳子的质量可忽略不计，当绳子在伸长时服从胡克定律，在整个下落过程中空气的阻力可忽略不计。B一热机工作于两个相同材料的物体之间，两物体的温度分别为TA和TB（TA＞TB），每个物体的质量均为m，比热恒定，均为s。设两个物体的压强保持不变，且不发生相变。（a）假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能，求出两物体A和B最终达到的温度T?的表达式，给出解题全部过程。（b）由此得出允许获得的最大功的表达式。（c）假定热机工作于两箱水之间，每箱水的体积为2.50m3，一箱水的温度为350K，另一箱水的温度为300K。计算可获得的最大机械能。已知水的比热容=4.19×103kg-1K-1，水的密度=1.00x103kgm.-3C假定地球形成时同位素238U和235U已经存在，但不存在它们的衰变产物。238U和235U的衰变被用来确定地球的年龄T。（a）同位素238U以4.50×109年为半衰期衰变，衰变过程中其余放射性衰变产物的半衰期比这都短得多，作为一级近似，可忽略这些衰变产物的存在，衰变过程终止于铅的同位素206Ph。用238U的半衰期、现在238U的数目238N表示出由放射衰变产生的206Pb原子的数目206n。（运算中以109年为单位为宜）（b）类似地，235U在通过一系列较短半衰期产物后，以0.710×109年为半衰期衰变，终止于稳定的同位素207Pb。写出207n与235N和235U半衰期的关系式。（c）一种铅和铀的混合矿石，用质谱仪对它进行分析，测得这种矿石中铅同位素204Pb，206Pb和207Pb的相对浓度比为1.00：29.6：22.6。由于同位系204Pb不是放射性的，可以用作分析时的参考。分析一种纯铝矿石，给出这三种同位素的相对浓度之比为1.00：17．9:15.5。已知比值238N：235N为137：1，试导出包含T的关系式。（d）假定地球的年龄T比这两种钢的半衰期都大得多，由此求出T的近似值。（e）显然上述近似值并不明显大于同位素中较长的半衰期，但用这个近似值可以获得精确度更高的T值。由此在精度2％以内估算地球的年龄T。D真空中电荷Q均匀分布在半径为R的球体内。（a）对r≤R和r＞R两种情况导出距球心r处的电场强度。（b）导出与这一电荷分布相联系的总电能表示式。E用细铜线构成的园环在地磁场中绕其竖直直径转动，铜坏处的地磁场的磁感应强度为44.5μT，其方向与水平方向向下成60°角。已知铜的密度为8．90×103kgm-3，电阻率为1.70×10-8Ωm，计算其角速度从初始值降到其一半所需的时间。写出演算步骤，此时间比转动一次的时间长得多。没空气和轴承处的摩擦忽略不计，并忽略自感效应（尽管这些效应本不应忽略）。题2（a）一阴极射线管由一个电子枪和一个荧屏组成，放在磁感应强度为B的均匀恒定磁场中，如图1所示，磁场方向平行于电子枪的电子束的轴，电子束从由子枪的阳极沿轴射出，但有与轴至多成5°的发散角，如图2所示。通常电子束将在荧光屏上呈现一个弥散的斑点，但对一定大小的磁场则可得到聚焦得很好的光点。考虑某个电子，离开电子枪时以角度β(0＜β＜5°)偏离轮运动，并考虑其垂直于轴和平行于轴的两个分量，用下列参量导出电子的荷质比e／m的表达式：使电子束聚焦成一点的最小磁感应强度；电子枪加速电位差V（注意V＜2kV＝，从阳极到荧屏的距离D。（b）考虑另一种测量电子荷质比的方法。图3（a）、（b）为其实验装置的侧视图和俯视图，图中还画出磁场B的方向。在这一均匀磁场中放人二块相隔很小距离t的铜园盘，园盘的半径为ρ。两盘间保持电势差V，两园盘平行、同轴，而且它们的轴垂直于磁场。一照相底片同轴复盖在半径为ρ＋s的园柱体的内侧面，换句话说，底片离园盘边缘的径向距离为s，整个装置放在真空中，注意t远小于s和ρ。一点状β粒子源放置于两园盘的园心之间，沿各个方向均匀发射?粒子，粒子的速率分布在一定的范围内，同一底片在下列不同的实验条件下曝光：情况1B=0，V=0，情况2B=B。，V=V。，情况3B=-B。，V=-V。；这里V0和B0为正的常数。注意当V＞0时上面一块园盘带正电(当V＜0时上盘带负电＝。当B＞0，磁场方向规定为如图3所示的方向(当B＜0时磁场沿相反的方向＝。解这个小题时，两园盘的间隔可以忽略不计。在图3（b）中，底片的两个区域分别用A和B标出。底片曝光并冲洗后，两个区域中的某个区域的底片展开后显示的β粒子曝光线条如图4所示。这部分底片是取自于什么区域（A还是B）？通过指出作用在电子上的力的方向论证你的答案。（c）曝光并冲洗后，底片的展开图如图4所示。利用显微镜测量两条最外面的轨迹的间距。[在某一特定角度下的间距（y）已在图4中标出]。此测量结果由下表结出，角度Φ定义为磁场方向与底片上某点和园盘中心联统间的夹角，如图3（b）所示。与磁场夹角/度Φ906050403023间隔y17．412．79．76．43．3轨迹终端测量系统参数的数值如下：B0＝6.91mTV0＝580Vt＝0.80mms=41.0mm另外，真空中光速可取为3.00×108ms-1，电子的静止质量为9.11×10-31kg。计算出观测到的β粒子的最大动能（以eV为单位）。（d）利用上面（c）部分给出的信息，求出电子的电荷与静质量的比值。这应通过在所给的坐标纸上画一合适的图求出。写出所画图的横轴和纵轴所代表的量的代数表达式，并写出电子荷质比的量值。请注意，由于观察的系统误差，你所得到的答案可能与公认的标准值不同。转载于中学物理第31届国际物理奥林匹克竞赛试题理论试题(续)英国莱斯特2000年7月10日时间5小时引力波和引力对光所产生的效应A部分这部分涉及探测天文事件所产生的引力波的困难。已知远距离的超新星爆炸可能对地球表面的引力场强度产生大约10-19Nkg-1的扰动。一种引力波探测器的模型（见图5）由两根各1米长的金属棒组成，两律互成直角，每根棒的一头都抛光成光学平面，另一头刚性地固定住。调节其中一根棒的位置，使从光电管所接收到的信号最小（见图5）。用压电器件在棒中产生一个非常短的纵向脉冲，结果棒的自由瑞产生纵向位移Δxt的振动：Δxt=ae-μtcos(ωt+)其中a、μ、ω和为常数。（a）如果50秒的时间间隔内位移的振幅减小20％，求μ的值。（b）设两棒都由．铝组成，其密度（ρ）为2700kgm-3，杨氏模量（E）为7.1×1010Pa。已知纵波的速度v=，试求ω的最小值。（c）一般不可能使得这两根棒具有完全相同的长度，因此光电管信号出现0.005Hz的拍频，问两棒的长度差为多少？（d）对于长为l的棒，导出由于引力场强度g的变化Δg所引起的长度变化面l的代数表达式，用l和棒材料的其它常数表示。设探测器对引力场强度变化的响应只发生在一根棒的轴向上。（e）某激光器产生波长为656nm的单色光，如果可以测出的最小条纹移动量为激光波长的10-4，要使这个系统能够测出g的变化量为10-19Nkg-1，棒的最小l值为多少？B部分这部分考察引力场对光在空间的传播所产生的效应。（a）一个从太阳（质量M、半径R）表面发出的光子将被红移。假定光子的质量等价于光子的能量，利用牛顿引力理论证明无穷远处光子的有效（或测量到的）频率以因子（1－GM／Rc2）的倍率减小（即红移）。（b）光子频率的减小等价于时间周期的增加。当利用光子作为标准钟时，则等价于时间的膨胀。另外，时间的膨胀总是伴随着同一因子的长度收缩。现在我们试图研究这效应对在太阳边上传播的光的影响。首先定义离太阳中心r处的等效折射率nr：nr=c/c‘r其中c为在远离太阳引力影响（r→∞）到的光的速度，c’r为在距离太阳中心r测到的光速。当GM／rc2很小时，证明nr可近似表为其中为常数，请确定该常数。（c）利用上述nr表达式，计算当光通过太阳边缘时偏离直线路径的角度（以弧度为单位）。数据万有引力常数G=6．67×10-11Nm2kg-2太阳质量M=1．99x1030kg太阳半径R＝6．95×108m光速c＝3．00×108ms-1你可能需要下列积分：