1983年第3届全国高中数学联赛试题

1983年第3届全国高中数学联赛第一试一、选择题1.设p，是自然数，条件甲：q33pq−是偶数；条件乙：pq+是偶数，那么，（）.A.甲是乙的充分而非必要条件B.甲是乙的必要而非充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.11251111loglog33x=+的值是属于区间（）.A.（，）B.（，）C.（2−1−123−，2−）D.（，）233.已知等腰ABCΔ的底边BC及高AD的长都是整数，那么sinA和cosA中，（）.A.一个是有理数，另一个是无理数B.两个都是有理数C.两个都是无理数D.是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定4.已知(){}2Mxyyx=≥，，()(){}221Nxyxya=+−，≤.那么，使MNN=∩成立的充要条件是：（）.A.114a≥B.114a=C.D.011a≥a5.已知函数()2fxaxc=−满足：()41f−≤≤−1，()12f5−≤≤.那么，()3f应满足（）.A.B.C.()732f≤≤65()431f−≤≤()132f0−≤≤D.()2835333f−≤≤6.设，，c，，m，n都是正实数.abdPabc=+d，bdQmancmn=+⋅+，那么（）.A.B.PC.D.P，Q间的大小关系不确定，而与m，n的大小有关PQ≥Q≤PQ7.在正方形ABCD所在平面上有点，使PPABΔ，PBCΔ，PCDΔ，PDAΔ都是等腰三角形.那么，具有这样性质的点个数共有（）.PA.9个B.17个C.1个D.5个8.任间ABCΔ，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l，R与，那么（）.rA.lRB.lRr+r≤+C.166Rrl+D.ABC三种关系都不对二、填空题1.在中，ABCΔ3sin5A=，5cos13B=，那么cos的值等于C.2.三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有个.3.一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为的正三角形，这样两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数amn.那么，积mn⋅是.第二试一、求证：arcsinarccos2xxπ+=，其中[]11x∈−，.二、函数()fx在[]01，上有定义，()()01ff=，如果对于任意不同的1x，[]201x∈，，都有()()21fxfx−12.求证：()()2fx112fx−.三、如图，在四边形ABCD中，ABDΔ，BCDΔ，ABCΔ的面积比是，点3:4:1M，分别在NAC，上，满足CD::AMANCC=CD，并且B，M，三点共线.求证：NM与分别是NAC与CD的中点.四、在六条棱分别为，，，，，的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论.233455五、函数()22cos2sincossinFxxxxxAxB=+−++在302xπ≤≤上的最大值M与参数，AB有关.问A，B取什么值时M为最小？证明你的结论.