1984年第4届全国高中数学联赛试题

1984年第4届全国高中数学联赛第一试一、选择题1.集合{}2argSzzaaR==∈，在复平面的图形是（）.A.射线B.射线C.射线arg2z=aaaarg2z=−argz=−D.上述答案都不对2.下列四个图的阴影部分（不包括边界）满足不等式()2loglog0xxy的是（）.ABCD3.对所有满足1的，n，极坐标方程5mnm≤≤≤11cosnmCρθ=−表示的不同双曲线条数是（）.A.15B.10C.D.674.方程sinlgxx=的实根是（）.A.1B.C.3D.大于325.若，，是奇函数，则0a1a≠()Fx()()1112xGxFxa⎛⎞=⎜−⎝⎠+⎟是（）.A.奇函数B.偶函数C.不是奇函数也不是偶函数D.奇偶性与的具体数值有关a6.若11xFxx−⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠，则下列等式中正确的是（）.A.B.()(22FxF−−=−−)x()11xFxFx−⎛⎞−=⎜⎟+⎝⎠C.D.()()1FxFx−=()FFxx=−⎡⎤⎣⎦7.若动点（Px，）以等角速度yω在单位圆上逆时针运动，则点（Q2xy−，22yx−）的运动方程是（）.A.以角速度ω在单位圆上顺时针运动B.以角速度ω在单位圆上逆时针运动C.以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D.以角速度2ω在单位圆上逆时针运动8.若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是()Fx，则函数()Fx在其定义域上（）.A.是增函数但无最大值B.是增函数且有最大值C.不是增函数且无最大值D.不是增函数但有最大值二、填空题1.如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点，作DDCAB⊥，交圆周于.若点的坐标为（CDx，），则当0x∈时，线段AD，BD，CD可构成三角形.2.方程coscos4xx=的通解是，在（，024π）内，不相同的解有个.第二试一、下列命题是否正确？若正确，请给予证明.1.若，是直线l同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过点，且和直线相切.PQPQl2.若，且，，则0a0b1a≠1b≠loglog2abba+≥.3.设A，B是坐标平面上的两个点集，(){}222rCxyxyr=+，≤.若对任何都有，则必有.0r≥rCArB∪C⊆∪AB⊆二、已知两条异面直线，b所成的角为aθ，它们的公垂线AA′的长度为，在直线，b上分别取点daE，，设，，求FAEm′=AFn=EF.（A′在直线上，aA在直线上）b三、如图，在中，P为边上任意一点，PE∥ABCΔBCBA，PF∥.若，证明，CA1ABCSΔ=BPFSΔPCESΔ和PEAFS中至少有一个不小于49.（表示图形的面积）S四、设是的个位数字，na2212n+++21n=，，，试证23120.naaa是有理数.五、设1x，2x，，nx都是正数，求证：222211212231nnnnxxxxxxxxxxx−++++≥+++.