1985年第5届全国高中数学联赛试题

1985年第5届全国高中数学联赛第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1.假如有两个命题：甲：是大于零的实数；乙：且aab1ab1−−，那么（）.A.甲是乙的充分而不必要条件B.甲是乙的必要而不充分条件C.甲是乙的充分必要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.为经过抛物线PQ22ypx=焦点的任意一条弦，MN为的准线l上的射影，PQ线l转一周所得的旋转面面积为.，以PQ1SMN为直径的球面面积为，则下面的结论中，正确的是（）.2SA.B.C.D.有时，有时1SS222221SS1SS≥1SS1SS=，有时12SS3.已知方程44arccosarccosarcsin55x⎛⎞−−=⎜⎟⎝⎠，则（）.A.2425x=B.2425x=−C.0x=D.这样的x不存在4.在下列四个图形中，已知有一个是方程20mxny+=与221mxny+=（，）在同一坐标系中的示意图，它应是（）.0m≠0n≠ABCD5.设Z，W，λ为复数，1λ≠，关于Z的方程ZZWλ−=有下面四个结论：（1）21WWZNλ+=−是这个方程的解；（）这个方程只有一个解；（）这个方程有两个解；（）这个方程有无穷多解.则（）.234A.只有（1）和（）是正确的B.只有（）和（）是正确的213C.只有（1）和（）是正确的D.以上ABC都不正确46.设，若01a1xa=，12xxa=，23xxa=，，1nxnxa−=，则数列{}nx（）.A.是递增的B.是递减的C.奇数项是递增的，偶数项是递减的D.偶数项是递增的，奇数项是递减的二、填空题（每小题6分，共24分）1.在ABCΔ中，角A，B，的对边分别为，，.若角CabcA，B，的大小成等比数列，且，则角C22baac−=B的孤度数等于.2.方程的非负整数解共有1234567891023xxxxxxxxxx+++++++++=组.3.在已知数列1，，，10，16，19，，25，30，43中，相领若干数之和能被11整除的数组共有4821.4.对任意实数x，，定义运算yxy∗为xyaxbycxy∗=++3，其中a，b，c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算，现已知12∗=234，∗=，并且有一个非零实数，使得对于任意实数dx都有xd∗=x，则d=.第二试一、（15分）在直角坐标系xOy中，点A（1x，1y）和点B（2x，2y）的坐标均为一位正整数，OA与x轴正方向的夹角大于，与45DOBx轴正方向的夹角小于，45DB在x轴上的射影为B′，A在y轴上的射影为A′，的面积比的面积大，由OBB′ΔOAA′Δ33.51x，1y，2x，2y组成四位数，并写出求解过程.二、（15分）如图，在正方体中，1111ABCDABCD−E是BC的中点，在上，且，求平面F1AA1:1:AFFA=21BEF与底面所成的二面角.11ABC11D三、（15分）某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，并且同一城市的两队之间不进行比赛；比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同.问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论.四、（15分）的点，它们之间的最大距离与最小距离之比记为平面上任给五个相异λ，求证：，并讨等号成立的充要条件.2sin54λ≥D论